方陣(行數、列數相等的矩陣)的列秩和行秩總是相等的，因此它們可以簡單地稱作矩陣A的秩。通常表示為r(A)，rk(A)或

m × n矩陣的秩最大為m和n中的較小者，表示為 min(m,n)。有盡可能大的秩的矩陣被稱為有滿秩；類似的，否則矩陣是秩不足（或稱為“欠秩”）的。

設A是一組向量，定義A的極大無關組中向量的個數為A的秩。

定義1. 在m*n矩陣A中，任意決定α行和β列交叉點上的元素構成A的一個k階子矩陣，此子矩陣的行列式，稱為A的一個k階子式。

例如，在階梯形矩陣中，選定1，3行和3，4列，它們交叉點上的元素所組成的2階子矩陣的行列式 就是矩陣A的一個2階子式。

定義2. A=(a_ij)m×n的不為零的子式的最大階數稱為矩陣A的秩，記作rA，或rankA或R(A)。

特別規定零矩陣的秩為零。

顯然rA≤min(m,n) 易得：

若A中至少有一個r階子式不等于零，且在r

由行列式的性質知，矩陣A的轉置A^T的秩與A的秩是一樣的，即rank(A)=rank(A^T)。

矩陣的秩

定理：矩陣的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等變換不改變矩陣的秩。

定理：如果A可逆，則r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

定理：矩陣的乘積的秩R_ab<=min{R_a,R_b};

引理：設矩陣A=(a_ij)sxn的列秩等于A的列數n，則A的列秩，秩都等于n。

當r(A)<=n-2時，最高階非零子式的階數<=n-2，任何n-1階子式均為零，而伴隨陣中的各元素就是n-1階子式再加上個正負號，所以伴隨陣為0矩陣。

當r(A)<=n-1時，最高階非零子式的階數<=n-1，所以n-1階子式有可能不為零，所以伴隨陣有可能非零（等號成立時伴隨陣必為非零） 。

(1)轉置后秩不變

(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩陣

(3)r(kA)=r(A),k不等于0

(4)r(A)=0 <=> A=0

(5)r(A B)<=r(A) r(B)

(6)r(AB)<=min(r(A),r(B))

(7)r(A) r(B)-n<=r(AB)

證明：

AB與n階單位矩陣En構造分塊矩陣

|AB O|

|O En|

A分乘下面兩塊矩陣加到上面兩塊矩陣,有

|AB A|

|0 En|

右邊兩塊矩陣分乘-B加到左邊兩塊矩陣,有

|0 A |

|-B En|

所以,r(AB) n=r(第一個矩陣)=r(最后一個矩陣)>=r(A) r(B)

即r(A) r(B)-n<=r(AB)

注：這里的n指的是A的列數。這里假定A是m×n矩陣。

特別的：A:m*n,B:n*s,AB=0 -> r(A) r(B)<=n

(8)P,Q為可逆矩陣, 則 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)

(9)若矩陣可相似對角化則矩陣的秩等于矩陣非零特征值的個數。2100433B

定義1:用初等行變換將矩陣A化為階梯形矩陣, 則矩陣中非零行的個數就定義為這個矩陣的秩, 記為r（A），根據這個定義, 矩陣的秩可以通過初等行變換求得。需要注意的是, 矩陣的階梯形并不是唯一的, 但是階梯形中非零行的個數總是一致的。

定義2:在

（1）有某個r階子式

（2）所有r 1階子式

稱A的秩為r，記作R（A)=r。規定：R（O)=0.

對

若R（A)=n，稱A為列滿秩矩陣。

對

若R（A)

第1章 行列式

1．1 行列式的定義

習題1．1

1．2 行列式的性質

習題1．2

1．3 行列式按行（列）展開

習題1．3

1．4 克拉默法則

習題1．4

總習題

第2章 矩陣

2．1 矩陣的定義

習題2．1

2．2 矩陣的運算

習題2．2

2．3 逆矩陣

習題2．3

2．4 分塊矩陣

習題2．4

總習題二

第3章 矩陣的初等變換

3．1 矩陣的初等變換

習題3．1

3．2 矩陣的秩

習題3．2

3．3 線性方程組的解

習題3．3

總習題三

第4章 向量組的線性相關性

4．1 n維向量及其線性運算

習題4．1

4．2 向量組的線性相關性

習題4．2

4．3 向量組的秩

習題4．3

4．4 向量空間

習題4．4

4．5 線性方程組的解的結構

習題4．5

總習題四

第5章 相似矩陣及二次型

5．1 向量的內積、長度及正交性

習題5．1

5．2 方陣的特征值與特征向量

習題5．2

5．3 相似矩陣

習題5．3

5．4 二次型

習題5．4

總習題五

第6章 概率論的基本概念

6．1 隨機事件及其運算

習題6．1

6．2 頻率與概率

習題6．2

6．3 條件概率

習題6．3

6．4 獨立性

習題6．4

總習題六

第7章 隨機變量及其分布

7．1 隨機變量

習題7．1

7．2 離散型隨機變量及其分布律

習題7．2

7．3 分布函數與連續型隨機變量

習題7．3

總習題七

……

第8章 二維隨機變量及其分布

第9章 隨機變量的數字特征

第10章 大數定理及中心極限定理

第11章 樣本及其抽樣分布

第12章 參數估計

第13章 假設檢驗

第14章 Matlab軟件及其應用

附錄

習題答案 2100433B

前輔文

第一章 矩陣及其初等變換

§ 1.1 矩陣的概念

§ 1.2 矩陣的運算

§ 1.3 矩陣分塊及其運算

§ 1.4 初等變換

復習題一

第二章 方陣的行列式與逆矩陣

§ 2.1 n 階行列式

§ 2.2 行列式的性質及計算

§ 2.3 行列式的展開定理

§ 2.4 克拉默法則

§ 2.5 方陣的逆矩陣

§ 2.6 矩陣的秩

§ 2.7 線性方程組的消元法

*§ 2.8 投入產出數學模型

復習題二

第三章 幾何空間

§ 3.1 向量的運算及投影

§ 3.2 直角坐標系

§ 3.3 向量的數量積?向量積和混合積

§ 3.4 空間平面方程

§ 3.5 空間直線方程

§ 3.6 距離與平面束

§ 3.7 曲面與曲線方程

復習題三

第四章 n 維向量與線性方程組

§ 4.1 n 維向量空間的概念

§ 4.2 向量組的線性關系

§ 4.3 向量組的秩與向量空間的基

§ 4.4 線性方程組解的結構

復習題四

第五章 方陣的特征值與特征向量

§ 5.1 n 維向量的內積?長度與正交

§ 5.2 特征值與特征向量

§ 5.3 相似矩陣及矩陣的對角化

*§ 5.4 最小二乘問題

復習題五

第六章 二次型與特殊二次曲面

§ 6.1 二次型及其標準形

§ 6.2 正定實二次型

§ 6.3 特殊二次曲面

*§ 6.4 二次型的應用問題

復習題六

附錄一 部分習題參考答案與提示

附錄二 復數?數環和數域

附錄三 連加符號Σ 與連乘符號Π

參考文獻 2100433B