因?yàn)檎ǘ涡团c正定矩陣有密切的聯(lián)系,所以在定義正定矩陣之前,讓我們先定義正定二次型:
設(shè)有二次型 ,如果對(duì)任何x 0都有f(x)>0( 0) ,則稱f(x)為正定(半正定)二次型。
中文名稱 | 非負(fù)定矩陣 | 外文名稱 | nonnegative definite matrix |
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由正定矩陣的概念可知,判別正定矩陣有如下方法:
1.n階對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是A的 n 個(gè)特征值全是正數(shù)。
證明:若 , 則有
∴λ>0
反之,必存在U使
即
有
這就證明了A正定。
由上面的判別正定性的方法,不難得到A為半正定矩陣的充要條件是:A的特征值全部非負(fù)。
2.n階對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是A合同于單位矩陣E。
證明:A正定
二次型 正定
A的正慣性指數(shù)為n
3.n階對(duì)稱矩陣A正定(半正定)的充分必要條件是存在 n階可逆矩陣U使 ;進(jìn)一步有 (B為正定(半正定)矩陣)。
證明:n階對(duì)稱矩陣A正定,則存在可逆矩陣U使
令 則
令 則
反之,
∴A正定。
同理可證A為半正定時(shí)的情況。
4.n階對(duì)稱矩陣A正定,則A的主對(duì)角線元素 。
證明:(1)∵n階對(duì)稱矩陣A正定
∴ 是正定二次型
現(xiàn)取一組不全為0 的數(shù)0,…,0,1,0…0(其中第I個(gè)數(shù)為1)代入,有
∴
∴A正定
∴存在可逆矩陣C ,使
5.n階對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是:A的 n 個(gè)順序主子式全大于零。
證明:必要性:
設(shè)二次型 是正定的
對(duì)每個(gè)k,k=1,2,…,n,令
,
現(xiàn)證 是一個(gè)k元二次型。
∵對(duì)任意k個(gè)不全為零的實(shí)數(shù) ,有
∴ 是正定的
∴ 的矩陣
是正定矩陣
即
即A的順序主子式全大于零。
充分性:
對(duì)n作數(shù)學(xué)歸納法
當(dāng)n=1時(shí),
∵ , 顯然 是正定的。
假設(shè)對(duì)n-1元實(shí)二次型結(jié)論成立,現(xiàn)在證明n元的情形。
令 , ,
∴A可分塊寫成
∵A的順序主子式全大于零
∴ 的順序主子式也全大于零
由歸納假設(shè), 是正定矩陣即,存在n-1階可逆矩陣Q使
令
∴
再令 ,
有
令 ,
就有
兩邊取行列式,則
由條件 得a>0
顯然
即A合同于E ,
∴A是正定的。
1.n階對(duì)稱矩陣A是負(fù)定矩陣的充分必要條件是A的負(fù)慣性指數(shù)為n。
2.n階對(duì)稱矩陣A是負(fù)定矩陣的充分必要條件是A的特征值全小于零。
3.n階對(duì)稱矩陣A是負(fù)定矩陣的充分必要條件是A的順序主子式 滿足。
即奇數(shù)階順序主子式全小于零,偶數(shù)階順序主子式全大于零。
由于A是負(fù)定的當(dāng)且僅當(dāng)-A是正定的,所以上敘結(jié)論不難從正定性的有關(guān)結(jié)論直接得出,故證明略。
1.n階對(duì)稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的正慣性指數(shù)等于它的秩。
2.n階對(duì)稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的特征值全大于等于零,但至少有一個(gè)特征值等于零。
3.n階對(duì)稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的各階主子式全大于等于零,但至少有一個(gè)主子式等于零。
注:3中指的是主子式而不是順序主子式,實(shí)際上,只有順序主子式大于等于零并不能保證A是半正定的,例如:
矩陣 的順序主子式 ,但A并不是半正定的。
因?yàn)檎ǘ涡团c正定矩陣有密切的聯(lián)系,所以在定義正定矩陣之前,讓我們先定義正定二次型:
設(shè)有二次型 ,如果對(duì)任何x 0都有f(x)>0( 0) ,則稱f(x)為正定(半正定)二次型。
相應(yīng)的,正定(半正定)矩陣和負(fù)定(半負(fù)定)矩陣的定義為:
令A(yù)為 n 階對(duì)稱矩陣,若對(duì)任意n 維向量 x≠ 0都有 f(x)>0(≥0),則稱A正定(半正定)矩陣;反之,令A(yù)為n 階對(duì)稱矩陣,若對(duì)任意 n 維向量 x≠0 ,都有 f(x)<0(≤ 0), 則稱A負(fù)定(半負(fù)定)矩陣。
例如,單位矩陣E 就是正定矩陣。
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