由正定矩陣的概念可知，判別正定矩陣有如下方法:

1.n階對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是A的 n 個(gè)特征值全是正數(shù)。

證明:若 ， 則有

∴λ>0

反之，必存在U使

即

有

這就證明了A正定。

由上面的判別正定性的方法，不難得到A為半正定矩陣的充要條件是:A的特征值全部非負(fù)。

2.n階對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是A合同于單位矩陣E。

證明:A正定

二次型 正定

A的正慣性指數(shù)為n

3.n階對(duì)稱矩陣A正定(半正定)的充分必要條件是存在 n階可逆矩陣U使 ;進(jìn)一步有 (B為正定(半正定)矩陣)。

證明:n階對(duì)稱矩陣A正定，則存在可逆矩陣U使

令 則

令 則

反之，

∴A正定。

同理可證A為半正定時(shí)的情況。

4.n階對(duì)稱矩陣A正定，則A的主對(duì)角線元素 。

證明:(1)∵n階對(duì)稱矩陣A正定

∴ 是正定二次型

現(xiàn)取一組不全為0 的數(shù)0,…,0,1,0…0(其中第I個(gè)數(shù)為1)代入，有

∴

∴A正定

∴存在可逆矩陣C ，使

5.n階對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是:A的 n 個(gè)順序主子式全大于零。

證明:必要性:

設(shè)二次型 是正定的

對(duì)每個(gè)k,k=1,2,…,n,令

，

現(xiàn)證 是一個(gè)k元二次型。

∵對(duì)任意k個(gè)不全為零的實(shí)數(shù) ，有

∴ 是正定的

∴ 的矩陣

是正定矩陣

即

即A的順序主子式全大于零。

充分性:

對(duì)n作數(shù)學(xué)歸納法

當(dāng)n=1時(shí)，

∵ ， 顯然 是正定的。

假設(shè)對(duì)n-1元實(shí)二次型結(jié)論成立，現(xiàn)在證明n元的情形。

令 ， ，

∴A可分塊寫成

∵A的順序主子式全大于零

∴ 的順序主子式也全大于零

由歸納假設(shè)， 是正定矩陣即，存在n-1階可逆矩陣Q使

令

∴

再令 ，

有

令 ，

就有

兩邊取行列式，則

由條件 得a>0

顯然

即A合同于E ，

∴A是正定的。

1.n階對(duì)稱矩陣A是負(fù)定矩陣的充分必要條件是A的負(fù)慣性指數(shù)為n。

2.n階對(duì)稱矩陣A是負(fù)定矩陣的充分必要條件是A的特征值全小于零。

3.n階對(duì)稱矩陣A是負(fù)定矩陣的充分必要條件是A的順序主子式 滿足。

即奇數(shù)階順序主子式全小于零，偶數(shù)階順序主子式全大于零。

由于A是負(fù)定的當(dāng)且僅當(dāng)-A是正定的，所以上敘結(jié)論不難從正定性的有關(guān)結(jié)論直接得出，故證明略。

1.n階對(duì)稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的正慣性指數(shù)等于它的秩。

2.n階對(duì)稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的特征值全大于等于零，但至少有一個(gè)特征值等于零。

3.n階對(duì)稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的各階主子式全大于等于零，但至少有一個(gè)主子式等于零。

注:3中指的是主子式而不是順序主子式，實(shí)際上，只有順序主子式大于等于零并不能保證A是半正定的，例如:

矩陣 的順序主子式 ，但A并不是半正定的。

因?yàn)檎ǘ涡团c正定矩陣有密切的聯(lián)系，所以在定義正定矩陣之前，讓我們先定義正定二次型:

設(shè)有二次型 ,如果對(duì)任何x 0都有f(x)>0( 0) ，則稱f(x)為正定(半正定)二次型。

相應(yīng)的，正定(半正定)矩陣和負(fù)定(半負(fù)定)矩陣的定義為:

令A(yù)為 n 階對(duì)稱矩陣，若對(duì)任意n 維向量 x≠ 0都有 f(x)>0(≥0)，則稱A正定(半正定)矩陣;反之，令A(yù)為n 階對(duì)稱矩陣，若對(duì)任意 n 維向量 x≠0 ,都有 f(x)<0(≤ 0)， 則稱A負(fù)定(半負(fù)定)矩陣。

例如，單位矩陣E 就是正定矩陣。