因為正定二次型與正定矩陣有密切的聯系，所以在定義正定矩陣之前，讓我們先定義正定二次型:

設有二次型 ,如果對任何x 0都有f(x)>0( 0) ，則稱f(x)為正定(半正定)二次型。

相應的，正定(半正定)矩陣和負定(半負定)矩陣的定義為:

令A為 n 階對稱矩陣，若對任意n 維向量 x≠ 0都有 f(x)>0(≥0)，則稱A正定(半正定)矩陣;反之，令A為n 階對稱矩陣，若對任意 n 維向量 x≠0 ,都有 f(x)<0(≤ 0)， 則稱A負定(半負定)矩陣。

例如，單位矩陣E 就是正定矩陣。

由正定矩陣的概念可知，判別正定矩陣有如下方法:

1.n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是A的 n 個特征值全是正數。

證明:若 ， 則有

∴λ>0

反之，必存在U使

即

有

這就證明了A正定。

由上面的判別正定性的方法，不難得到A為半正定矩陣的充要條件是:A的特征值全部非負。

2.n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是A合同于單位矩陣E。

證明:A正定

二次型 正定

A的正慣性指數為n

3.n階對稱矩陣A正定(半正定)的充分必要條件是存在 n階可逆矩陣U使 ;進一步有 (B為正定(半正定)矩陣)。

證明:n階對稱矩陣A正定，則存在可逆矩陣U使

令 則

令 則

反之，

∴A正定。

同理可證A為半正定時的情況。

4.n階對稱矩陣A正定，則A的主對角線元素 。

證明:(1)∵n階對稱矩陣A正定

∴ 是正定二次型

現取一組不全為0 的數0,…,0,1,0…0(其中第I個數為1)代入，有

∴

∴A正定

∴存在可逆矩陣C ，使

5.n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是:A的 n 個順序主子式全大于零。

證明:必要性:

設二次型 是正定的

對每個k,k=1,2,…,n,令

，

現證 是一個k元二次型。

∵對任意k個不全為零的實數 ，有

∴ 是正定的

∴ 的矩陣

是正定矩陣

即

即A的順序主子式全大于零。

充分性:

對n作數學歸納法

當n=1時，

∵ ， 顯然 是正定的。

假設對n-1元實二次型結論成立，現在證明n元的情形。

令 ， ，

∴A可分塊寫成

∵A的順序主子式全大于零

∴ 的順序主子式也全大于零

由歸納假設， 是正定矩陣即，存在n-1階可逆矩陣Q使

令

∴

再令 ，

有

令 ，

就有

兩邊取行列式，則

由條件 得a>0

顯然

即A合同于E ，

∴A是正定的。

1.n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的負慣性指數為n。

2.n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的特征值全小于零。

3.n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的順序主子式 滿足。

即奇數階順序主子式全小于零，偶數階順序主子式全大于零。

由于A是負定的當且僅當-A是正定的，所以上敘結論不難從正定性的有關結論直接得出，故證明略。

1.n階對稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的正慣性指數等于它的秩。

2.n階對稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的特征值全大于等于零，但至少有一個特征值等于零。

3.n階對稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的各階主子式全大于等于零，但至少有一個主子式等于零。

注:3中指的是主子式而不是順序主子式，實際上，只有順序主子式大于等于零并不能保證A是半正定的，例如:

矩陣 的順序主子式 ，但A并不是半正定的。