NMF的廣泛應用，源于其對事物的局部特性有很好的解釋。在眾多應用中，NMF能被用于發現數據庫中的圖像特征，便于快速自動識別應用;能夠發現文檔的語義相關度，用于信息自動索引和提取;能夠在DNA陣列分析中識別基因等等。我們將對此作一些大致的描述。

(1) 圖像分析

NMF最成功的一類應用是在圖像的分析和處理領域。圖像本身包含大量的數據，計算機一般將圖像的信息按照矩陣的形式進行存放，針對圖像的識別、分析和處理也是在矩陣的基礎上進行的。這些特點使得NMF方法能很好地與圖像分析處理相結合。人們已經利用NMF算法，對衛星發回的圖像進行處理，以自動辨別太空中的垃圾碎片;使用NMF算法對天文望遠鏡拍攝到的圖像進行分析，有助于天文學家識別星體;美國還嘗試在機場安裝由NMF算法驅動的識別系統，根據事先輸入計算機的恐怖分子的特征圖像庫來自動識別進出機場的可疑恐怖分子。

(2) 文本聚類/數據挖掘

文本在人類日常接觸的信息中占有很大分量，為了更快更精確地從大量的文本數據中取得所需要的信息，針對文本信息處理的研究一直沒有停止過。文本數據不光信息量大，而且一般是無結構的。此外，典型的文本數據通常以矩陣的形式被計算機處理，此時的數據矩陣具有高維稀疏的特征，因此，對大規模文本信息進行處理分析的另一個障礙便是如何削減原始數據的維數。NMF算法正是解決這方面難題的一種新手段。NMF在挖掘用戶所需數據和進行文本聚類研究中都有著成功的應用例子。由于NMF算法在處理文本數據方面的高效性，著名的商業數據庫軟件Oracle在其第10版中專門利用NMF算法來進行文本特征的提取和分類。為什么NMF對于文本信息提取得很好呢?原因在于智能文本處理的核心問題是以一種能捕獲語義或相關信息的方式來表示文本，但是傳統的常用分析方法僅僅是對詞進行統計，而不考慮其他的信息。而NMF不同，它往往能達到表示信息的局部之間相關關系的效果，從而獲得更好的處理結果。

(3) 語音處理

語音的自動識別一直是計算機科學家努力的方向，也是未來智能應用實現的基礎技術。語音同樣包含大量的數據信息，識別語音的過程也是對這些信息處理的過程。NMF算法在這方面也為我們提供了一種新方法，在已有的應用中，NMF算法成功實現了有效的語音特征提取，并且由于NMF算法的快速性，對實現機器的實時語音識別有著促進意義。也有使用NMF方法進行音樂分析的應用。復調音樂的識別是個很困難的問題，三菱研究所和MIT(麻省理工學院)的科學家合作，利用NMF從演奏中的復調音樂中識別出各個調子，并將它們分別記錄下來。實驗結果表明，這種采用NMF算法的方法不光簡單，而且無須基于知識庫。

(4) 機器人控制

如何快速準確地讓機器人識別周圍的物體對于機器人研究具有重要的意義，因為這是機器人能迅速作出相應反應和動作的基礎。機器人通過傳感器獲得周圍環境的圖像信息，這些圖像信息也是以矩陣的形式存儲的。已經有研究人員采用NMF算法實現了機器人對周圍對象的快速識別，根據現有的研究資料顯示，識別的準確率達到了80%以上。

(5) 生物醫學工程和化學工程

生物醫學和化學研究中，也常常需要借助計算機來分析處理試驗的數據，往往一些煩雜的數據會耗費研究人員的過多精力。NMF算法也為這些數據的處理提供了一種新的高效快速的途徑?？茖W家將NMF方法用于處理核醫學中的電子發射過程的動態連續圖像，有效地從這些動態圖像中提取所需要的特征。NMF還可以應用到遺傳學和藥物發現中。因為NMF的分解不出現負值，因此采用NMF分析基因DNA的分子序列可使分析結果更加可靠。同樣，用NMF來選擇藥物成分還可以獲得最有效的且負作用最小的新藥物。

此外，NMF算法在環境數據處理、信號分析與復雜對象的識別方面都有著很好的應用。近年來采用NMF思想的應用才剛展開，相信以后會有更多的成功應用。這些成功的應用反過來也將促進NMF的進一步研究。

1、在VQ分解中，每一列的被約束為一個一元矢量。其中只有一個元素為1，其他元素為0。若的第一列中，第r1個元素為1，那么中第一列的臉，就完全由基圖像中的第r1列數據表示。此時得到的基圖像稱為原型基圖像，這些原型圖像表示一張原型臉。

2、在PCA分解中，的各列之間相互正交，各行之間相互正交。這個約束比VQ的松弛很多，也就是，中的元素可為正也可為負。中每一張臉的每一個像素點都是中各列對應的像素點的一個加權和。由于權重矩陣中元素符號的任意性，所以基矩陣表示出來并不像VQ中原型臉那樣的直觀可解釋。此時將W的列數據畫出來并不一定能直接看到一張"臉"。但是在統計上可以解釋為最大方差方向，我們把這些"臉"稱為"特征臉"。

3、在NMF中，由于加了非負約束。與VQ的單一元素不為0不同，NMF允許基圖像H間的加權結合來表示臉部圖像V;與PCA不同，NMF的加權系數H中的元素都為非負的。前兩者得到的都是一個完整的臉部特征基圖像，而NMF得到的是臉部子特征。通俗點說，VQ是用一張完整的圖像直接代表源臉部圖像;PCA是將幾個完整人臉加減壓成一張臉;而NMF是取甲的眼睛，乙的鼻子，丙的嘴巴直接拼成一張臉。這樣解釋雖然細節上略有不妥，但不失其概念上的意義。

《21世紀高校教材:矩陣分析》主要內容包括:線性空間;線性變換;內積空間;范數及其應用;矩陣分析;矩陣分解;廣義逆矩陣等。