若N=2^n，則離散 的沃爾什變換對為圖8

這里bi(z)為z的二進制數的第i 1位的值（即0或1）。如N=8時的變換核和反變換作用矩陣形式表示為 9。

1923年，美國數學系J.L Walsh提出walsh函數。函數展開有三種：Walsh序的Walsh函數，佩利序的Walsh函數，哈達瑪序的Walsh函數。

沃爾什變換主要用于圖像變換，屬于正交變換。這種變換壓縮效率低，所以實際使用并不多。但它快速，因為計算只需加減和偶爾的右移操作。沃爾什變換的定義如下：給定一個NXN像素塊Pxy（N必須是2的冪），二維WHT定義為如圖1：

沃爾什函數Wal(k，t)是美國數學家J．L．沃爾什(J．L．Walsh)1923年提出的，定義在半開區間0≤t<1的一組完備、正交矩形函數，其波形如圖所示。從圖中可見，函數只取 1和-1兩個值。顯然，它的抽樣也只有 1和-1兩個值，與數字邏輯中的兩種狀態相應，特別適合于數字信號處理。沃爾什變換與傅里葉變換相比，由于它只存在實數的加、減法運算而沒有復數的乘法運算，使得計算速度快、存儲空間少，有利于硬件實現，對實時處理和大量數據操作具有特殊吸引力。在通信系統中由于它的正交性和具有取值和算法簡單等優點，便于構成正交的多路復用系統。

沃爾什函數與正弦-弦函數相同，也是一種完備的正交函數系。所謂完備性，就是所有相互正交的函數全部包括在該函數組內，再沒有別的非零函數與它正交。因而，與在一定條件下，函數可以表示為傅里葉級數相似，對任一在0≤t<1單位區間平方可積的周期函數x(t)均可展開為沃爾什級數，且此級數具有收斂性。即，按x(t 1)=x(t)，則對所有t都有如圖2.

式中a₀是直流項，a_k是序號為k的沃爾什波的幅度，其大小由下式確定，即如圖3

由此可見，沃爾什級數可用于信號序列率譜分析，特別是被逼近的波形不光滑而是階梯函數時，效果較傅里葉級數好。為了便于數字處理，對連續沃爾什函數進行等間隔抽樣。設單位時間內取N個樣點，則抽樣間隔△t=1/N，以X(k)代替a_k，故②式改寫成為如圖4

式③即離散沃爾什變換（DWT）的定義式。若已知輸入信號數據x(n)，可求得相應序率譜幅度系數X（k）。同理，已知X（k)可通過逆變換求x(n)，即如圖5

按沃爾什編號的沃爾什函數

沃爾什函數與正弦函數有所不同，在單位區間內由于不一定是周期函數，所以過零點的分布不一定是等間隔的。如圖6所示。但為了與正弦函數的頻率相對應，因此沃爾什函數定義單位時間內波形過零點數務(或變號數 ）為序率，它的1/2為列率并以S_k表示，即如圖7

圖中8個波形的序率是按自然遞增的順序排列的，所以稱這種排列為按沃爾什編號（或列率排列）的沃爾什函數，以Wal_ω(k，t)表示。下腳注ω表示按沃爾什編號。此外還有佩利（Paley)編號Wal_p(k，t)和哈達理(Hadamard)編號Wal_h(k，t)共三類。這三類編號的沃爾什變換是完全等價的，實際上只是排列次序有所不同而已。由于按哈達瑪編號的沃爾什變換（WHT）其變換矩陣具有簡單的遞推關系，且正、反變換矩陣完全相同，所以獲得廣泛應用。如通信領域中的多路數字通信系統、語音加密、視頻編碼系統、雷達系統、圖像通信系統；在信號處理領域中的信號分析與綜合、功率譜分析、模式識別、圖像處理。特別是在圖像傳輸、存儲系統中，用于圖像壓縮非常有效。

沃爾什變換雖有上述許多優點，但與建立在正、余弦函數基礎上的傅里葉變換相比，在理論上和實踐上還有許多問題需要研究和進一步解決。如相關與卷積的運算，以及如何從經濟上和技術上解決以矩形波為基礎的設備，來取代現有以正弦波為基礎的大量設備等問題。

離散余弦變換(DCT for Discrete Cosine Transform)是與傅里葉變換相關的一種變換，它類似于離散傅里葉變換(DFT for Discrete Fourier Transform),但是只使用實數。離散余弦變換相當于一個長度大概是它兩倍的離散傅里葉變換，這個離散傅里葉變換是對一個實偶函數進行的（因為一個實偶函數的傅里葉變換仍然是一個實偶函數），在有些變形里面需要將輸入或者輸出的位置移動半個單位(DCT有8種標準類型，其中4種是常見的)。

最常用的一種離散余弦變換的類型是下面給出的第二種類型，通常我們所說的離散余弦變換指的就是這種。它的逆，也就是下面給出的第三種類型，通常相應的被稱為"反離散余弦變換"，"逆離散余弦變換"或者"IDCT"。

有兩個相關的變換，一個是離散正弦變換(DST for Discrete Sine Transform),它相當于一個長度大概是它兩倍的實奇函數的離散傅里葉變換；另一個是改進的離散余弦變換(MDCT for Modified Discrete Cosine Transform),它相當于對交疊的數據進行離散余弦變換。

離散余弦變換，尤其是它的第二種類型，經常被信號處理和圖像處理使用，用于對信號和圖像(包括靜止圖像和運動圖像)進行有損數據壓縮。這是由于離散余弦變換具有很強的"能量集中"特性:大多數的自然信號(包括聲音和圖像)的能量都集中在離散余弦變換后的低頻部分，而且當信號具有接近馬爾科夫過程(Markov processes)的統計特性時，離散余弦變換的去相關性接近于K-L變換(Karhunen-Loève 變換--它具有最優的去相關性)的性能。

例如，在靜止圖像編碼標準JPEG中，在運動圖像編碼標準MJPEG和MPEG的各個標準中都使用了離散余弦變換。在這些標準制中都使用了二維的第二種類型離散余弦變換，并將結果進行量化之后進行熵編碼。這時對應第二種類型離散余弦變換中的n通常是8，并用該公式對每個8x8塊的每行進行變換，然后每列進行變換。得到的是一個8x8的變換系數矩陣。其中(0,0)位置的元素就是直流分量，矩陣中的其他元素根據其位置表示不同頻率的交流分量。

一個類似的變換, 改進的離散余弦變換被用在高級音頻編碼(AAC for Advanced Audio Coding)，Vorbis 和 MP3 音頻壓縮當中。

離散余弦變換也經常被用來使用譜方法來解偏微分方程，這時候離散余弦變換的不同的變量對應著數組兩端不同的奇/偶邊界條件。

離散余弦變換被廣泛的應用，像是資料壓縮、特征萃取、影像重建等等。多維度離散余弦變換為：