真正相似是一種特殊相似形，設圖形F與F′是相似形，在圖形F上任取不共線 三點A，B，C，它們在圖形F′上的對應點分別是A′，B′，C′(如圖1)，若△ABC和△A′B′C′的方向相同，即三對對應點的排列(沿周界ABCA與A′B′C′A′的環繞方向)或同為順時針方向或同為逆時針方向，則稱圖形F與圖形F′真正相似。真正相似圖形的重要特例是真正相似三角形。當△ABC與△A′B′C′相似，且沿周界ABCA與沿周界A′B′C′A′的環繞方向相同，即同為逆時針方向或同為順時針方向，則這兩個三角形是真正相似三角形 。

定理1 位似圖形必彼此真正相似 。

定理2 若兩非合同的真正相似圖形有一雙對應直線互相平行或重合，則它們必是位似圖形。

注 必須注意，即使兩真正相似圖形的每雙對應頂點連線共點，但這兩圖形未必是位似的，例如在下圖中所繪的△ABC與△A'B'C'，它們不但真正相似，且有透視中心O，然而它們明明就不是位似圖形。

定理3 既不合同也不位似的兩個真正相似圖形，可以接連行一次位似變換和一次旋轉將其一形變為他形， 其中相似中心和旋轉中心是同一點。

定理4設圖形F與F'真正相似但不合同，A與A'是任一雙對應點，k是相似比。若內外分錢段AA'于M、N，使

定理5 非合同的兩個鏡象相似圖形，可以接連行一 次反射和一次位似變換將其一形變為另一形，其中反射軸通過相似中心。

定理6 非合同的兩個鏡象相似圖形的兩條二重線，內外分每雙對應點的連接線所得的分比，都等于兩形的相似比 。

如果二圖形F和F'的點與點之間建立這樣的一一對應應關系，即圖形F'上任意二點連接而成的線段與圖形F上與前二點對應的二點連接而成的線段的比有同一數值，就說圖形F'相似子圖形F，設A、B、C、D、…為圖形F上的點，圖形F'上的對應點為A'、B'、C'、D'、…，由定義，必有K=A'B'：AB=A'C'：AC=B'C'：BC=A'D'：AD…=常數，這個比例常數K稱為圖形F'對于圖形F的相似系數或稱相似比 。

特別地，如果兩個邊數相同的多邊形的對應角都相等，對應邊都成比例，這兩個多邊形叫做相似多邊形。對于兩個三角形，如果對應角相等，對應邊成比例，這兩個三角形叫做相似三角形，相似用符號“∽”表示，讀作“相似于”。

有兩種相似圖形。如果給圖形以定向， 則有

(1)兩相似圖形上的每兩個對應三角形有同一的定向，每兩對應角有同向，這兩個相似圖形稱為真正相似(圖3)。

(2)兩相似圖形上的每兩個對應三角形有相反的定向，每兩對應角有相反方向，這兩個相似圖形稱為鏡象相似(圖4)。

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（1）幾何相似

幾何相似是指模型與其原型形狀相同，但尺寸可以不同，而一切對應的線性尺寸成比例，這里的線性尺寸可以是直徑、長度及粗糙度等。如用下標p和m 分別代表原型和模型，則

線性比例常數可表示為 Cl=lp/lm

面積比例常數可表示為 Ca=Ap/Am=Cl^2

體積比例常數可表示為 Cv=Vp/Vm=Cl^3

（2）運動相似

運動相似是指對不同的流動現象，在流場中的所有對應點處對應的速度和加速度的方向一致，且比值相等，也就是說，兩個運動相似的流動，其流線和流譜是幾何相似的。

速度比例常數可表示為 Cv=Vp/Vm；

由于時間的量綱是l/V，因此時間比例常數為 Ct=tp/tm=(lp/Vp)/ (lm/Vm)=Cl/Cv

由此加速度比例常數Ca=ap/am=Cv/Ct=CI/Ct^2

（3）動力相似動力相似即對不同的流動現象，作用在流體上相應位置處的各種力，如重力、壓力、粘性力和彈性力等，它們的方向對應相同，且大小的比值相等，也就是說，兩個動力相似的流動，作用在流體上相應位置處各力組成的力多邊形是幾何相似的。

一般地說，作用在流體微元上的力有重力Fg、壓力Pp、粘性力Fv、彈性力Fe和表面張力Ft。如果流體是作加（減）速運動，則加上慣性力Fi后，上述各力就會組成一個力多邊形，因此Fg Fp Fv Fe Ft Fi=0。

當然，在許多實際問題中，上述各力并非同等重要，有時有些力可能不存在或者小得可以忽略不計，例如Fe和Ft，見圖。如果在滿足幾何相似及運動相似的兩個流動現象中，作用在任何流體微元上的力有Fg、Fp、Fv和Fi等，于是，如果這些力滿足以下條件，則說兩個現象是動力相似的。

動力比例常數可表示為：Cf=Fgp/Fgm= Fpp/Fpm= Fvp/Fvm= Fip/Fim=…

滿足以上相似條件時，兩個流動現象（或流場）在力學上就是相似的。這三種相似條件中，幾何相似是運動相似和動力相似的前提和依據，動力相似是則是流動相似的主導因素，而運動相似只是幾何相似和動力相似的表征；三者密切相關，缺一不可。

相似原理相似第一定理

兩個相似的流動現象都屬于同一類物理現象，它們都應為同一的數學物理方程所描述。流動現象的幾何條件（流場的邊界形狀和尺寸）、物性條件（流體密度、粘性等）、邊界條件（流場邊界上物理量的分布，如速度分布、壓強分布等），對非定常流動還有初始條件（選定研究的初始時刻流場中各點的物理量分布）都必定是相似的。這些條件又統稱為單值條件。如前所述，兩個流動現象力學相似，則在空間對應點和對應的瞬時諸物理量各自互成一定的比例，而這些物理量又必須滿足同一的微分方程組，因此各量的比例系數，即相似倍數，不能是任意的，而是彼此制約的 。

綜上可得到結論：彼此相似的物理現象必須服從同樣的客觀規律，若該規律能用方程表示，則物理方程式必須完全相同，而且對應的相似準則必定數值相等。這就是相似第一定理。值得指出，一個物理現象中在不同的時刻和不同的空間位置相似準則具有不同的數值，而彼此相似的物理現象在對應時間和對應點則有數值相等的相似準則，因此，相似準則不是常數。

相似原理相似第二定理

要使試驗模型同它所模擬的研究對象相似，試驗的結果才能應用到研究對象上去。判斷兩個現象是否相似，往往不能用物理量在對應時間和空間的分布是否保持同一比值來判定。例如，風洞中模型飛機流場與實際飛行著的飛機流場相似問題，往往只知道飛機遠前方的來流速度，飛機附近的流場分布卻不知道，因此不能根據相似定義來判斷二者是否相似。

兩個物理現象相似，必定是同一類物理現象。因此，描述物理現象的微分方程組必定相同，這是現象相似的第一個必要條件。

單值條件相似是物理現象相似的第二個必要條件。因為服從同一微分方程組的同類現象有許多，單值條件可以將研究對象從無數多現象中單一地區分出來，數學上則是使微分方程組有唯一解的定解條件。

單值條件中的物理量所組成的相似準則相等是現象相似的第三個必要條件。

反過來說，屬于同一類物理現象且單值條件相似時，兩個現象才有時間和空間的對應關系以及與時間和空間聯系的相同物理量，如果對應的相似準則相等，又保持了在對應的時間和空間點上物理量保持相同的比值，也就保證了兩個物理現象的相似。

綜上所述，相似條件可表述為：凡同一類物理現象，當單值條件相似且由單值條件中的物理量組成的相似準則對應相等時，則這些現象必定相似。這就是相似第二定理，它是判斷兩個物理現象是否相似的充分必要條件。

相似三角形的相似條件

1、平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構成的三角形與原三角形相似；

2、如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等, 那么這兩個三角形相似；

3、如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等,并且相應的夾角相等,那么這兩個三角形相似；

4、如果兩個三角形的三組對應邊的比相等,那么這兩個三角形相似；

5、對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。

離心泵葉輪的相似條件

1、流量相似關系

幾何相似的泵葉輪出口排擠系數相等

如果尺寸比值不是很大，滿足相似三條件的離心泵ηv = η’v

即可得：

2、揚程相似關系

3、功率相似關系

上式表達了滿足相似三條件的離心泵各主要性能參數間的關系，稱為相似三定律。

相似理論

相似理論在泵的設計和實驗中廣泛應用。通常所說的按模型換算進行相似設計和進行模型實驗就是在相似理論指導下進行的。按相似理論可以把模型實驗結果換算到實型泵上，也可以將實型泵的參數換算為模型的參數進行模型設計和實驗。

用小的模型進行實驗要比真機實驗經濟得多，而且，因受到條件的限制，當真機的尺寸過大，轉速過高或抽送諸如高溫等特殊液體時，往往難以進行真機實驗，只能用模型實驗代之。

①幾何相似

兩臺泵在結構上完全相仿，對應尺寸的比值相同，葉片數、對應角相等。

②運動相似

兩臺泵內對應點的液體流動相仿，速度大小的比值相同、方向一致（即速度三角形相似）。

運動相似是幾何相似和動力相似的必然結果。

③動力相似

兩臺泵內對應點的液體慣性力、粘性力等的比值相同。

滿足以上3條，兩臺泵即為相似。通常兩臺泵只要滿足幾何相似和運動相似，就認為滿足相似條件。

相似定律

符合相似條件的兩臺泵，可近似地認為兩相似泵的容積效率、水力效率、機械效率相等，這時有以下各式成立，稱為相似定律。2100433B