有些矩陣范數(shù)不可以由向量范數(shù)來誘導(dǎo)，比如常用的Frobenius范數(shù)(也叫Euclid范數(shù)，簡(jiǎn)稱F-范數(shù)或者E-范數(shù))：║A║F= ( ∑∑ aij^2 )^1/2 (A全部元素平方和的平方根)。容易驗(yàn)證F-范數(shù)是相容的，但當(dāng)min{m,n}>1時(shí)F-范數(shù)不能由向量范數(shù)誘導(dǎo)(||E11+E22||F=2>1)?？梢宰C明任一種矩陣范數(shù)總有與之相容的向量范數(shù)。例如定義║x║=║X║，其中X=&#91;x,x,…,x&#93;是由x作為列的矩陣。由于向量的F-范數(shù)就是2-范數(shù)，所以F-范數(shù)和向量的2-范數(shù)相容。另外還有以下結(jié)論：║AB║F <= ║A║F ║B║2 以及 ║AB║F <= ║A║2 ║B║F矩陣的譜半徑和范數(shù)的關(guān)系定義：A是n階方陣，λi是其特征值，i=1,2,…,n。則稱特征值的絕對(duì)值的最大值為A的譜半徑，記為ρ(A)。注意要將譜半徑與譜范數(shù)(2-范數(shù))區(qū)別開來，譜范數(shù)是指A的最大奇異值，即A^H*A最大特征值的算術(shù)平方根。譜半徑是矩陣的函數(shù)，但不是矩陣范數(shù)。譜半徑和范數(shù)的關(guān)系是以下幾個(gè)結(jié)論：定理1：譜半徑不大于矩陣范數(shù)，即ρ(A)≤║A║。因?yàn)槿我惶卣鲗?duì)λ,x,Ax=λx，可得Ax=λx。兩邊取范數(shù)并利用相容性即得結(jié)果。定理2：對(duì)于任何方陣A以及任意正數(shù)e，存在一種矩陣范數(shù)使得║A║<ρ(A)+e。定理3(Gelfand定理)：ρ(A)=lim_{k->∞} ║A^k║^{1/k}。利用上述性質(zhì)可以推出以下兩個(gè)常用的推論：推論1：矩陣序列 I,A,A^2,…A^k,… 收斂于零的充要條件是ρ(A)<1。推論2：級(jí)數(shù) I+A+A^2+... 收斂到(I-A)^{-1}的充要條件是ρ(A)<1。

定義：如果范數(shù)║·║滿足║A║=║UAV║對(duì)任何矩陣A以及酉矩陣U,V成立，那么這個(gè)范數(shù)稱為酉不變范數(shù)。容易驗(yàn)證，2-范數(shù)和F-范數(shù)是酉不變范數(shù)。因?yàn)橛献儞Q不改變矩陣的奇異值，所以由奇異值得到的范數(shù)是酉不變的，比如2-范數(shù)是最大奇異值，F(xiàn)-范數(shù)是所有奇異值組成的向量的2-范數(shù)。反過來可以證明，所有的酉不變范數(shù)都和奇異值有密切聯(lián)系：定理(Von Neumann定理)：在酉不變范數(shù)和對(duì)稱度規(guī)函數(shù)(symmetric gauge function)之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。也就是說任何酉不變范數(shù)事實(shí)上就是所有奇異值的一個(gè)對(duì)稱度規(guī)函數(shù)。

把矩陣看作線性算子，那么可以由向量范數(shù)誘導(dǎo)出矩陣范數(shù)║A║ = max{║Ax║:║x║=1}= max{║Ax║/║x║: x≠0} ，它自動(dòng)滿足對(duì)向量范數(shù)的相容性║Ax║ ≤ ║A║║x║，并且可以由此證明║AB║ ≤ ║A║║B║。注：1.上述定義中可以用max代替sup是因?yàn)橛邢蘧S空間的單位閉球是緊的(有限開覆蓋定理)，從而上面的連續(xù)函數(shù)可以取到最值。2.顯然，單位矩陣的算子范數(shù)為1。常用的三種p-范數(shù)誘導(dǎo)出的矩陣范數(shù)是1-范數(shù)：║A║1 = max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } (列和范數(shù)，A每一列元素絕對(duì)值之和的最大值)(其中∑|ai1|第一列元素絕對(duì)值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|,其余類似)；2-范數(shù)：║A║2 = A的最大奇異值 = ( max{ λi(A^H*A) } ) ^{1/2} (譜范數(shù),即A'A特征值λi中最大者λ1的平方根，其中A^H為A的轉(zhuǎn)置共軛矩陣)；∞-范數(shù)：║A║∞ = max{ ∑|a1j|, ∑|a2j| ,..., ∑|amj| } (行和范數(shù)，A每一行元素絕對(duì)值之和的最大值)(其中為∑|a1j| 第一行元素絕對(duì)值的和，其余類似)；其它的p-范數(shù)則沒有很簡(jiǎn)單的表達(dá)式。對(duì)于p-范數(shù)而言，可以證明║A║p=║A^H║q，其中p和q是共軛指標(biāo)。簡(jiǎn)單的情形可以直接驗(yàn)證：║A║1=║A^H║∞，║A║2=║A^H║2，一般情形則需要利用║A║p=max{y^H*A*x：║x║p=║y║q=1}。

第一章 矩陣知識(shí)的復(fù)習(xí)和補(bǔ)充

1 主要記號(hào)和定義

2 Schur分解和奇異值分解

2.1 Schur分解

2.2 奇異值分解

3 向量范數(shù)和矩陣范數(shù)

3.1 向量范數(shù)

3.2 矩陣范數(shù)

3.3 譜半徑和矩陣序列的收斂性

4 正交投影和子空間之間的距離

4.1 正交投影

4.2 子空間之間的距離

5 非負(fù)矩陣

5.1 基本概念和性質(zhì)

5.2 PerronFrobenius定理

5.3 非負(fù)矩陣的譜

5.4 Birkhoff定理

6 有關(guān)矩陣特征值的幾個(gè)重要定理

6.1 一般方陣的Bauer-Fike定理

6.2 正規(guī)矩陣的Hoffman-Wielandt定理

6.3 Hermite矩陣的極小極大定理

習(xí)題

第二章 矩陣計(jì)算概論

1 矩陣計(jì)算的基本問題和來源

1.1 基本問題

1.2 膜的振動(dòng)

1.3 彈性系統(tǒng)的振動(dòng)

1.4 多元線性回歸分析

2 病態(tài)問題和數(shù)值穩(wěn)定性

2.1 矩陣計(jì)算問題的病態(tài)和良態(tài)

2.2 算法的數(shù)值穩(wěn)定性

3 矩陣計(jì)算的基本工具

3.1 Householder變換

3.2 Givens變換

3.3 Gauss變換

習(xí)題

第三章 線性方程組的直接解法

1 線性方程組的條件數(shù)

2 基本解法的回顧

2.1 Gauss消去法

2.2 Cholesky分解法

3 對(duì)稱不定方程組的解法

4 Vandermonde方程組的解法

5 Toeplitz方程組的解法

5.1 YuleWalker方程組

5.2 一般右端項(xiàng)的Toeplitz方程組

5.3 Toeplitz矩陣的逆

6 條件數(shù)的估計(jì)和迭代改進(jìn)

6.1 條件數(shù)的估計(jì)

6.2 迭代改進(jìn)

習(xí)題

第四章 線性方程組的迭代解法

1 迭代法概述

2 基本迭代法

3 正定矩陣和某些迭代法的收斂性

4 H矩陣和某些迭代法的收斂性

5 多項(xiàng)式加速

習(xí)題

第五章 共軛梯度法

1 最速下降法

2 二次泛函的幾何性質(zhì)

3 共軛梯度法及其基本性質(zhì)

4 實(shí)用共軛梯度法及其收斂性

4.1 實(shí)用共軛梯度法

4.2 收效性分析

5 預(yù)優(yōu)共軛梯度法

6 不完全分解預(yù)優(yōu)技巧

6.1 松弛不完全LU分解

6.2 松弛不完全Cholesky 分解

6.3 分塊不完全Cholesky 分解

7 求解非正定線性方程組的共軛梯度法

7.1 正規(guī)化方法

7.2 廣義共軛剩余法題

第六章 最小二乘問題的數(shù)值解法

1 最小二乘解的數(shù)學(xué)性質(zhì)

1.1 最小二乘解的特征

1.2 最小二乘解的一般表示

1.3 最小二乘解的擾動(dòng)分析

2 求解滿秩LS問題的數(shù)值方法

2.1 正規(guī)化方法

2.2正交化方法

3 求解虧秩LS問題的數(shù)值方法

3.1 列主元QR分解法

3.2 奇異值分解法

3.3 數(shù)值秩的定義和確定方法

4 求解L8問題的迭代法

4.1 基于正規(guī)化方程組的古典迭代法

⒋2 基于等價(jià)方程組的SOR和SSOR迭代法

5 完全最小二乘問題

習(xí)題

第七章 求解特征值問題的QR方法

1 特征值和不變子空間的條件數(shù)

1.1 特征值的條件數(shù)

1.2 不變子空間的條件數(shù)

2 雙重步位移的QR算法

2.1Q R算法的基本思想

2.2 實(shí)Schur標(biāo)準(zhǔn)形

2.3 上Hessenberg化

2.4 雙重步位移的QR迭代

2.5 雙重步位移的QR算法

3 特征向量和不變子空間的計(jì)算

3.1 特征向量的計(jì)算

3.2 不變子空間的計(jì)算

4 對(duì)稱QR方法

5 奇異值分解的計(jì)算

6 分而治之法

6.1 分割

6.2 膠合

習(xí)題

第八章 求解實(shí)對(duì)稱特征值問題的同倫方法

1 同倫算法概述

2 同倫的構(gòu)造和性質(zhì)

3 同倫路徑的數(shù)值追蹤

3.1 預(yù)估

3.3 校正

3.3 核查

3.4 同倫算法

習(xí)題

第九章 Lanczos方法

1 Lanczos迭代及其基本性質(zhì)

2 Kanie-Paige-Saad理論

3 Lanczos算法

4 求解對(duì)稱線性方程組的Lanczos方法

5 求解非對(duì)稱線性方程組的廣義極小剩余法

習(xí)題

第十章 求解Jacobi矩陣特征值反問題的數(shù)值方法

1 基本問題和定性理論

2 數(shù)值方法

2.1 Lanczos方法

2.2 正交約化法

3 相關(guān)問題

3.1 秩1修改問題

3.2 廣對(duì)稱Jacobi矩陣的特征值反問題

3.3 對(duì)角矩陣與秩1矩陣之和的特征值

習(xí)題

參考文獻(xiàn)

索引

第一章 矩陣的相似變換

1.1特征值與特征向量

1.2相似對(duì)角化

1.3Jordan標(biāo)準(zhǔn)形介紹

1.4IHamilton-CayIey定理

1.5向量的內(nèi)積

1.6酉相似下的標(biāo)準(zhǔn)形

習(xí)題1

第2章 范數(shù)理論

2.1向量范數(shù)

2.2矩陣范數(shù)

2.2.1方陣的范數(shù)

2.2.2與向量范數(shù)的相容性

2.2.3從屬范數(shù)

2.2.4長(zhǎng)方陣的范數(shù)

2.3范數(shù)應(yīng)用舉例

2.3.1矩陣的譜半徑

2.3.2矩陣的條件數(shù)

習(xí)題2

第3章 矩陣

第4章 矩陣分解

第5章 特征值的估計(jì)與表示

第6章 廣義逆矩陣

第7章 矩陣的直積

第8章 線性空間與線性變換

習(xí)題解答與提示

參考文獻(xiàn)