把矩陣看作線性算子，那么可以由向量范數誘導出矩陣范數║A║ = max{║Ax║:║x║=1}= max{║Ax║/║x║: x≠0} ，它自動滿足對向量范數的相容性║Ax║ ≤ ║A║║x║，并且可以由此證明║AB║ ≤ ║A║║B║。注：1.上述定義中可以用max代替sup是因為有限維空間的單位閉球是緊的(有限開覆蓋定理)，從而上面的連續函數可以取到最值。2.顯然，單位矩陣的算子范數為1。常用的三種p-范數誘導出的矩陣范數是1-范數：║A║1 = max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } (列和范數，A每一列元素絕對值之和的最大值)(其中∑|ai1|第一列元素絕對值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|,其余類似)；2-范數：║A║2 = A的最大奇異值 = ( max{ λi(A^H*A) } ) ^{1/2} (譜范數,即A'A特征值λi中最大者λ1的平方根，其中A^H為A的轉置共軛矩陣)；∞-范數：║A║∞ = max{ ∑|a1j|, ∑|a2j| ,..., ∑|amj| } (行和范數，A每一行元素絕對值之和的最大值)(其中為∑|a1j| 第一行元素絕對值的和，其余類似)；其它的p-范數則沒有很簡單的表達式。對于p-范數而言，可以證明║A║p=║A^H║q，其中p和q是共軛指標。簡單的情形可以直接驗證：║A║1=║A^H║∞，║A║2=║A^H║2，一般情形則需要利用║A║p=max{y^H*A*x：║x║p=║y║q=1}。

有些矩陣范數不可以由向量范數來誘導，比如常用的Frobenius范數(也叫Euclid范數，簡稱F-范數或者E-范數)：║A║F= ( ∑∑ aij^2 )^1/2 (A全部元素平方和的平方根)。容易驗證F-范數是相容的，但當min{m,n}>1時F-范數不能由向量范數誘導(||E11+E22||F=2>1)。可以證明任一種矩陣范數總有與之相容的向量范數。例如定義║x║=║X║，其中X=&#91;x,x,…,x&#93;是由x作為列的矩陣。由于向量的F-范數就是2-范數，所以F-范數和向量的2-范數相容。另外還有以下結論：║AB║F <= ║A║F ║B║2 以及 ║AB║F <= ║A║2 ║B║F矩陣的譜半徑和范數的關系定義：A是n階方陣，λi是其特征值，i=1,2,…,n。則稱特征值的絕對值的最大值為A的譜半徑，記為ρ(A)。注意要將譜半徑與譜范數(2-范數)區別開來，譜范數是指A的最大奇異值，即A^H*A最大特征值的算術平方根。譜半徑是矩陣的函數，但不是矩陣范數。譜半徑和范數的關系是以下幾個結論：定理1：譜半徑不大于矩陣范數，即ρ(A)≤║A║。因為任一特征對λ,x,Ax=λx，可得Ax=λx。兩邊取范數并利用相容性即得結果。定理2：對于任何方陣A以及任意正數e，存在一種矩陣范數使得║A║<ρ(A)+e。定理3(Gelfand定理)：ρ(A)=lim_{k->∞} ║A^k║^{1/k}。利用上述性質可以推出以下兩個常用的推論：推論1：矩陣序列 I,A,A^2,…A^k,… 收斂于零的充要條件是ρ(A)<1。推論2：級數 I+A+A^2+... 收斂到(I-A)^{-1}的充要條件是ρ(A)<1。

定義：如果范數║·║滿足║A║=║UAV║對任何矩陣A以及酉矩陣U,V成立，那么這個范數稱為酉不變范數。容易驗證，2-范數和F-范數是酉不變范數。因為酉變換不改變矩陣的奇異值，所以由奇異值得到的范數是酉不變的，比如2-范數是最大奇異值，F-范數是所有奇異值組成的向量的2-范數。反過來可以證明，所有的酉不變范數都和奇異值有密切聯系：定理(Von Neumann定理)：在酉不變范數和對稱度規函數(symmetric gauge function)之間存在一一對應關系。也就是說任何酉不變范數事實上就是所有奇異值的一個對稱度規函數。

第一章 矩陣知識的復習和補充

1 主要記號和定義

2 Schur分解和奇異值分解

2.1 Schur分解

2.2 奇異值分解

3 向量范數和矩陣范數

3.1 向量范數

3.2 矩陣范數

3.3 譜半徑和矩陣序列的收斂性

4 正交投影和子空間之間的距離

4.1 正交投影

4.2 子空間之間的距離

5 非負矩陣

5.1 基本概念和性質

5.2 PerronFrobenius定理

5.3 非負矩陣的譜

5.4 Birkhoff定理

6 有關矩陣特征值的幾個重要定理

6.1 一般方陣的Bauer-Fike定理

6.2 正規矩陣的Hoffman-Wielandt定理

6.3 Hermite矩陣的極小極大定理

習題

第二章 矩陣計算概論

1 矩陣計算的基本問題和來源

1.1 基本問題

1.2 膜的振動

1.3 彈性系統的振動

1.4 多元線性回歸分析

2 病態問題和數值穩定性

2.1 矩陣計算問題的病態和良態

2.2 算法的數值穩定性

3 矩陣計算的基本工具

3.1 Householder變換

3.2 Givens變換

3.3 Gauss變換

習題

第三章 線性方程組的直接解法

1 線性方程組的條件數

2 基本解法的回顧

2.1 Gauss消去法

2.2 Cholesky分解法

3 對稱不定方程組的解法

4 Vandermonde方程組的解法

5 Toeplitz方程組的解法

5.1 YuleWalker方程組

5.2 一般右端項的Toeplitz方程組

5.3 Toeplitz矩陣的逆

6 條件數的估計和迭代改進

6.1 條件數的估計

6.2 迭代改進

習題

第四章 線性方程組的迭代解法

1 迭代法概述

2 基本迭代法

3 正定矩陣和某些迭代法的收斂性

4 H矩陣和某些迭代法的收斂性

5 多項式加速

習題

第五章 共軛梯度法

1 最速下降法

2 二次泛函的幾何性質

3 共軛梯度法及其基本性質

4 實用共軛梯度法及其收斂性

4.1 實用共軛梯度法

4.2 收效性分析

5 預優共軛梯度法

6 不完全分解預優技巧

6.1 松弛不完全LU分解

6.2 松弛不完全Cholesky 分解

6.3 分塊不完全Cholesky 分解

7 求解非正定線性方程組的共軛梯度法

7.1 正規化方法

7.2 廣義共軛剩余法題

第六章 最小二乘問題的數值解法

1 最小二乘解的數學性質

1.1 最小二乘解的特征

1.2 最小二乘解的一般表示

1.3 最小二乘解的擾動分析

2 求解滿秩LS問題的數值方法

2.1 正規化方法

2.2正交化方法

3 求解虧秩LS問題的數值方法

3.1 列主元QR分解法

3.2 奇異值分解法

3.3 數值秩的定義和確定方法

4 求解L8問題的迭代法

4.1 基于正規化方程組的古典迭代法

⒋2 基于等價方程組的SOR和SSOR迭代法

5 完全最小二乘問題

習題

第七章 求解特征值問題的QR方法

1 特征值和不變子空間的條件數

1.1 特征值的條件數

1.2 不變子空間的條件數

2 雙重步位移的QR算法

2.1Q R算法的基本思想

2.2 實Schur標準形

2.3 上Hessenberg化

2.4 雙重步位移的QR迭代

2.5 雙重步位移的QR算法

3 特征向量和不變子空間的計算

3.1 特征向量的計算

3.2 不變子空間的計算

4 對稱QR方法

5 奇異值分解的計算

6 分而治之法

6.1 分割

6.2 膠合

習題

第八章 求解實對稱特征值問題的同倫方法

1 同倫算法概述

2 同倫的構造和性質

3 同倫路徑的數值追蹤

3.1 預估

3.3 校正

3.3 核查

3.4 同倫算法

習題

第九章 Lanczos方法

1 Lanczos迭代及其基本性質

2 Kanie-Paige-Saad理論

3 Lanczos算法

4 求解對稱線性方程組的Lanczos方法

5 求解非對稱線性方程組的廣義極小剩余法

習題

第十章 求解Jacobi矩陣特征值反問題的數值方法

1 基本問題和定性理論

2 數值方法

2.1 Lanczos方法

2.2 正交約化法

3 相關問題

3.1 秩1修改問題

3.2 廣對稱Jacobi矩陣的特征值反問題

3.3 對角矩陣與秩1矩陣之和的特征值

習題

參考文獻

索引

第一章 矩陣的相似變換

1.1特征值與特征向量

1.2相似對角化

1.3Jordan標準形介紹

1.4IHamilton-CayIey定理

1.5向量的內積

1.6酉相似下的標準形

習題1

第2章 范數理論

2.1向量范數

2.2矩陣范數

2.2.1方陣的范數

2.2.2與向量范數的相容性

2.2.3從屬范數

2.2.4長方陣的范數

2.3范數應用舉例

2.3.1矩陣的譜半徑

2.3.2矩陣的條件數

習題2

第3章 矩陣

第4章 矩陣分解

第5章 特征值的估計與表示

第6章 廣義逆矩陣

第7章 矩陣的直積

第8章 線性空間與線性變換

習題解答與提示

參考文獻