設f、g是拓撲空間X到Y的兩個連續映射，若存在連續映射H：X×I→Y使得：

H(x，0)=f(x)

H(x，1)=gx∈X

則稱f與g同倫，記為f?g：X→Y或f?g，映射H稱為f與g之間的一個同倫。f與g的同倫H也可理解為單參數映射族{h_t}_t∈I，h_t連續地依賴于t且h₀=f，h₁=g，即當參數t從0變到1時，映射f連續地形變為g。與常值映射同倫的映射稱為零倫的。若以C[X，Y]表示X到Y的一切連續映射之集，則同倫關系?是C[X，Y]上等價關系，每個等價類稱為一個同倫類，同倫類的全體所成集記為[X，Y]。設Y是R的子空間，f，g：X→Y是連續映射，若對每個x∈X，點f(x)與g(x)可由Y中線段連結，則f?g：X→Y，若Y是R中凸集，任何映射f：X→Y都零倫，即[X，Y]僅含一個元素。設X，Y與Z均為拓撲空間，若f?f：X→Y，g?g： Y→Z，則gf?gf： X→Z。

設X，Y為拓撲空間，若存在連續映射f：X→Y和g：Y→X，使得gf?Id_x且f·g?id_r。這Id、id均表示恒同映射，則稱f為同倫等價，g為f的同倫逆，而將X與Y稱為具有相同的倫型，或簡稱同倫的，記作X?Y。與單點空間同倫的空間稱為可縮的，或者存在x₀∈X，使得常值映射C：X→X。x₁→x₀與映射id_x同倫，空間X可縮。R和R中凸集均為可縮空間。同倫關系是拓撲空間之間的等價關系。X可縮等價于下列幾條中任意一條：(1)id_x?0，即恒同映射id_x零倫。(2) 對任意空間Y，映射f：X→Y，有f?0。(3)對任意空間Z和連續映射g：Z→X，g?0。

設A是空間X的子空間，i：A→X表包含映射，若存在連續映射r：X→A，使得r|_A=id_A(或r·i=id_A)，則r稱為X到A的保核收縮，A稱為X的收縮核。若有保核收縮r：X→A滿足i·rid_x：X→X，則H稱為X到A的形變收縮，A稱為X的形變收縮核，若同倫H還滿足對任意x∈A和t∈I有H(x，t)=x，則H稱為X到A的一個強形變收縮，A稱為X的強形變收縮核。強形變收縮是形變收縮，且若A是X的形變收縮核，則內射i：A→X是同倫等價。 2100433B

亦稱布勞威爾度或拓撲度。對一類連續映射的一種刻畫。對n維球面S到自身的每一連續映射聯系一個整數。設f：S→S(n≥1)是連續映射，(K，φ)是S的一個剖分，同調群H_n(S)Z，這里Z表示整數加群，以[z]記同調群H_n(K)的生成元，若：

f~=φ°f°φ： |K|→|K|，

則有整數m使得f~的誘導同態f~_n*([z])=m[z]，這個m稱為f的布勞威爾度，記為deg f.映射度deg f與S的剖分(K，φ)和H_n(K)的生成元的選取無關.根據誘導同態的性質，可得到下述結論：若f，g：S→S都是連續映射，則：

1.若fg，則deg f=deg g.

2.deg(f°g)=deg f°deg g.

3.對于S上的恒同映射1_s，有deg 1_s=1，對于常值映射c：S→S，有deg c=0.

根據以上性質，可以定義對應

deg_#： [S，S]→Z，

使得對于f所屬同倫類[f]規定

deg_#([f])=deg f.

根據霍普夫(Hopf，H.)的度數定理，deg_#是一一對應。它表明S到自身的連續映射從同倫觀點看由其映射度惟一決定.映射度理論應用廣泛，如研究球面上向量場以及博蘇克-烏拉姆定理等。關于映射度還可推廣到能定向閉假流形以及其他領域中去。討論n維球面S到自身連續映射的同倫類構成的集合[S，S]，是映射的同倫分類問題中最基本的內容，并且很多幾何問題的解決都有賴于對這個集合性質的了解。研究這個集合結構的一種方法，就是對每個連續映射f：S→S聯系一個整數，即所謂映射度，它是由布勞威爾(Brouwer，L.E.J.)首先提出的。

亦稱函數。數學的基本概念之一。也是一種特殊的關系。設G是從X到Y的關系，G的定義域D(G)為X，且對任何x∈X都有惟一的y∈Y滿足G(x，y)，則稱G為從X到Y的映射.即關系G為映射時，應滿足下列兩個條件：

1.(x∈X)(y∈Y)(xGy).

2.(x∈X)(y∈Y)(z∈Y)((xGy∧xGz)→y=z).這個被x∈X所惟一確定的y∈Y，通常表示為y=f(x)(x∈X).f(x)滿足：

1) f(x)∈Y.

2) G(x，f(x))成立(x∈X).

3)z∈Y，G(x，z)→z=f(x).

關系G常使用另一些記號：f：X→Y或XY.f與G的關系是y=f(x)(x∈X)，當且僅當G(x，y)成立.可取變域X中的不同元素為值的變元稱為自變元或自變量。同樣可取變域Y中的不同元素為值的變元稱為因變元或因變量。始集X稱為映射f的定義域。記為D(f)或dom(f).終集Y稱為映射的陪域，記為C(f)或codom(f).Y中與X中的元素有關系G的元素的組合{y|x(x∈X∧y=f(x)∈Y)}稱為映射的值域，記為R(f)或ran(f).當y=f(x)時，y稱為x的象，而x稱為y的原象。y的所有原象所成之集用f(y)表示.對于AX，所有A中元素的象的集合{y|x(x∈A∧y=f(x)∈Y)}或{f(x)|x∈A}稱為A的象.記為f(A)。對于BY，所有B中元素的原象的集合{x|x∈X∧y(y∈B∧y=f(x))}稱為B的原象。記為f(B)。顯然：f(A)=f(x)，f(B)=f(y)。

相交數是重要的同倫不變量。映射度在更一般情形的推廣。設M與N分別是m維與n維的緊致有向(無邊)微分流形，n>m，A是N的(n-m)維閉有向子流形，f：M→N是C映射，f

T_pMT_f(p)N→T_f(p)N/T_f(p)A

保持定向時，記為#_p(f，A)=1；否則記為#_p(f，A)=-1，則#(f，A)=∑_p∈f(A)#_p(f，A)∈Z(因為f(A)在M中余維為m)，稱為映射f對于子流形A的相交數。類似于映射度情形，得到：若f，g：M→N是光滑同倫映射，f

#(f，A)=#(g，A)

由此可將相交數定義推廣到一般連續映射的情形。相交數有直觀的幾何背景，設M₁，M₂N都是N的有向(無邊)緊致子流形，

dim N=dim M₁ dim M₂，

M₁

#(M₁，M₂)=(-1)dimM_1·dimM1#(M₂，M₁)

注意，當M，N或A不是可定向流形時，可類似于模2映射度而定義模2相交數#₂(f，A)。

《史記·淮南衡山列傳》：“ 廬江王 邊 越 ，數使使相交，故徙為 衡山王 ，王 江 北。”

明 馮夢龍 《掛枝兒·緣法》：“有緣法那在容和貌？有緣法那在前后相交？”

王西彥 《病人》：“我們相交雖說不久，不過總是朋友。”

《秦并六國平話》卷上：“ 李牧 上陣，二馬相交，惹起四野征云，振起滿天殺氣。”

《三國志平話》卷上：“ 劉備 分軍三隊， 關 張 二人各將一隊。頭至兩軍相交。”

明 馮夢龍 《掛枝兒·是非》：“你緣何不與我爭口氣，相交還是我，過后悔時遲。”

《二刻拍案驚奇》卷二十：“天下多是勢利之交，沒有黃金成不得相交。” 2100433B

1. 相交往；結交。

2. 相接，交戰。

3. 相好；好友。

4. 交叉。

5、神學定義

1.二階以上的導數習慣上稱之為高階導數。2.一個函數的導數，其中A為三階導數，B為四階導數，則可以說B是A的高階導數。2100433B