當系統滑動態初始時刻值

即

同理

由上式可知，系統從任意初始狀態運動到達滑模面的時間

系統到達滑模面

兩邊求定積分，得

可以計算系統沿滑模面到達原點的時間

通過計算，可知終端滑模控制器能夠使得系統在有限時間

對于一般的二階系統

其中，

終端滑模一般由如下一階動態方程描述

其中，

設計控制律形式為

式中，

為保證滑模態的存在，在不考慮系統內部參數不確定和外部擾動的條件下，對滑模面S進行時間的求導：

得到等效控制項為

為滿足滑模到達條件，選取Lyapunov函數

代入等效控制項，有

設計非線性控制項為

其中．

滑模函數的設計

在系統進入滑動面后能實現某種強制滑模運動，保證滑模具有期望的運動品質。 滑模函數的設計有很多種方法，其中線性滑模設計方法有極點配置法、最優控制法、微分幾何法和李雅普諾夫方法等。另外，近幾年來許多學者對非線性滑模、終端滑模、積分滑模、離散滑模、智能滑模等滑動模態也進行了深入的研究，并取得了一定的成果。

終端滑模控制方法，是一種有限時間的滑模控制方法。本項目在終端滑模控制的暫態理論、廣義有限時間滑模面設計、抖振抑制方面進行了研究, 提出了有意義的結果。結合理論研究的成果，以高超聲速飛行器巡航跟蹤問題和永磁同步電機速度控制問題為背景，開展了相關的控制應用研究。主要貢獻如下：(1)對終端滑模的趨近階段進行研究，給出了任意初始狀態出發，到達滑模面時間的最大值估計算法，并在已知到達點信息的前提下，推導得出了到達時間的數學表達。(2)推導論證了終端滑模面的齊次性性質，據此提出有限時間滑模面的通用設計準則，并結合趨近律方法，設計了基于通用滑模面的控制器。(3)采用變邊界層方法，分別設計了連續漸近滑模控制器和連續有限時間滑模控制器。為保證連續滑模控制器良好的魯棒性，設計了基于干擾觀測器的連續滑模控制方法。(4)結合上述理論成果，對有翼圓錐體構型的高超聲速飛行器不同的飛行條件，分別設計了連續滑模控制器、快速終端滑模控制器和自適應滑模控制器，仿真驗證了控制算法的有效性。(5)在實驗室永磁同步電機的實驗平臺上，驗證本項目提出的控制算法有效性和優越性。在國內外學術期刊上發表標注本項目資助號的論文共19篇(正式發表14篇，在線發表5篇)，其中SCI論文18篇(IEEE匯刊論文10篇)，EI論文1篇，出版專著1部。 2100433B

本項目圍繞終端滑模控制中尚存在的問題展開研究，基于齊次性理論，考慮終端滑模面上的動態系統和齊次系統的關系，分析有限時間滑模面充要條件，完成廣義終端滑模面的設計。采用非線性滑動域方法，設計連續滑模控制器，消減終端滑模控制的抖振；在理論研究的基礎上，結合航空航天領域的迫切需求，對非線性、強耦合、帶不確定和干擾的高超聲速飛行器，將終端滑模控制技術與干擾觀測器前饋補償技術結合起來，研究高超聲速飛行器魯棒連續滑模控制，提高飛行控制系統快速性、精度和抗擾動性能，為我國高超聲速飛行器飛行控制系統設計提供理論指導和技術支持。