對于非線性彈性模量基礎(chǔ)上雙模量矩形板來說，隨著非線性剛度系數(shù)的增大雙模量矩形板中心的撓度也逐漸變小，而且相同條件下非線性彈性基礎(chǔ)上雙模量矩形板中心的撓度要小于線性彈性基礎(chǔ)上雙模量矩形板中心的撓度。非線性基礎(chǔ)上拉壓彈性模量不同矩形板中心撓度的計算不宜采用相同彈性模量經(jīng)典薄板理論，而應(yīng)該采用雙模量薄板彈性理論。由于非線性基礎(chǔ)上拉壓彈性模量不同矩形板的彎曲變形微分方程是非線性的，因此難以求得其精確解析解，所以采用Kantorovich和Galerkin聯(lián)合法研究非線性基礎(chǔ)上拉壓彈性模量不同矩形板彎曲撓度，不但計算簡便而且計算精度也較高。

非線性彈性模量研究背景

土是地殼表層的整體巖石經(jīng)過物理與化學(xué)風(fēng)化作用后的產(chǎn)物，是由固相、液相和氣相組成的三相分散體系。長久以來，國內(nèi)外已經(jīng)建立的地基土的模型已不下數(shù)百個，但真正能反映土體真實面目的寥寥無幾。由于土體本身太復(fù)雜，全面地考慮土體的本構(gòu)關(guān)系，則其模型參數(shù)將會因為太多而缺乏實用性。因此，從實用角度出發(fā)，建立簡易的(包括形式和參數(shù)的可得到性)、能夠反映研究問題主要矛盾的典型模型是十分必要的。

非線性彈性模量土體的變形模量

根據(jù)彈性模量和變形模量的關(guān)系，可得土體的變形模量如下：

其中

非線性彈性模量研究結(jié)論

研究根據(jù)彈性模量和變形模量曲線的關(guān)系，建立了一個土體非線性彈性模量簡易計算方法，并將其應(yīng)用于某實際工程，計算結(jié)果表明本文的方法更符合實際。盡管利用本文的簡易計算方法進行沉降計算的結(jié)果比較接近于實測沉降預(yù)估值，相對于傳統(tǒng)的計算有極大的改進，但是二者仍然有一定的差距。分析產(chǎn)生偏差的產(chǎn)生可知，這主要是由于土體受到了較大的擾動，地質(zhì)報告提供的參數(shù)偏小，計算沉降量偏大等原因造成的。因此，土樣采集時盡可能少的擾動土體，保持土體本身物理力學(xué)性質(zhì)的穩(wěn)定性，使沉降計算時取用的土體物理力學(xué)指標能夠真實的反映土體的本來性質(zhì)，這是達到理論計算值和實測沉降預(yù)估值相接近的一個十分重要的前提條件。

地球表層的巖石和土壤含有大量的孔隙和裂縫，可以認為是一種松散介質(zhì)，具有非線性彈性的特征。在循環(huán)應(yīng)力的作用下，介質(zhì)的非線性彈性使應(yīng)力一應(yīng)變曲線變成滯回圈。對此問題，MaCall利用P—M模型，對滯回曲線的產(chǎn)生和對波速的影響進行了研究。同時也對非線性彈性對波的頻散，波形的畸變等問題進行了理論推導(dǎo)。而Meagan對非線性彈性波傳播進行了實驗研究。在他們的研究中，應(yīng)力或深度或速度作為參量是相對固定的。在波的傳播過程中，由于波的振幅變化，使應(yīng)力、應(yīng)變和模量也產(chǎn)生了微小的非線性變化，從而導(dǎo)致了波的頻散、畸變和衰減等一系列復(fù)雜現(xiàn)象。

實驗研究主要是考慮壓力或深度作為自變量且大幅度變化時對波速所產(chǎn)生的影響，特別是在循環(huán)應(yīng)力的條件下波速的變化規(guī)律。波速是介質(zhì)的重要參數(shù)，它也受到非線性彈性的明顯影響，使得波速-應(yīng)力曲線與應(yīng)力-應(yīng)變曲線相似，也變成了滯回圈。波速成為壓力的多值函數(shù)，給實際問題的處理帶來了不確定性。因此我們希望能將速度對應(yīng)力的多值函數(shù)轉(zhuǎn)化為速度對某參量的單值函數(shù)。

用實驗的方法，通過測量得到應(yīng)力、應(yīng)變、波速等有關(guān)參數(shù)，對非線形模量與應(yīng)變的關(guān)系作了非線性擬合；用非線性模量來代替彈性模量，對彈性介質(zhì)中的波速公式作了修正。將波速轉(zhuǎn)化成應(yīng)變(或密度)的單值函數(shù)。

非線性彈性模量實驗結(jié)果

如圖1和圖2顯示，速度是應(yīng)力的多值函數(shù)。速度不僅與應(yīng)力大小有關(guān)，還與應(yīng)力變化的方向和循環(huán)次數(shù)有關(guān)。相應(yīng)于應(yīng)力的每一個循環(huán)，波速也產(chǎn)生一個循環(huán)。在每一個循環(huán)中，卸載時的波速高于加載時的波速。而后一次循環(huán)的波速要高于前一次循環(huán)的波速，表示介質(zhì)在不斷被壓實，而且產(chǎn)生了應(yīng)變相對于應(yīng)力的延遲或滯后。

石英砂的應(yīng)力一應(yīng)變曲線如圖3所示。應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系是非線性的。每次應(yīng)力循環(huán)時都產(chǎn)生了殘余應(yīng)變。其大致形狀與速度一應(yīng)力曲線相似。由于速度是應(yīng)力的多值函數(shù)，給實際問題的處理帶來了不確定性，因此我們希望能將速度對應(yīng)力的多值函數(shù)轉(zhuǎn)化為速度對應(yīng)變的單值函數(shù)。

非線性彈性模量石英砂對非線性模量和波速的影響

先通過活塞上的小孔使石英砂處≥于水飽和狀態(tài)，然后再進行循環(huán)加卸載實驗。因為孔隙中充滿了水，使得介質(zhì)較難壓縮。如圖4所示是石英砂處于干燥和水飽和兩種狀態(tài)下的模量與應(yīng)力的關(guān)系。模量隨應(yīng)力的變化與隨應(yīng)變的變化不同，近似于直線，但都隨應(yīng)力增加而增加。水飽和時的模量與干燥狀態(tài)相比有明顯的提高，而且隨應(yīng)力的增加速率更快。同時，在水飽和的條件下，波速也有明顯的提高。由于不斷緩慢排水的緣故，波速測量精度較低，數(shù)據(jù)比較分散，但大體上還是與計算擬合曲線相近。

非線性彈性模量討論與結(jié)論

地球表面的介質(zhì)，如巖石和土壤。在實際工作中，可采用四種不同的模型來進行研究，即線性彈性體、非線性彈性體、塑性體和粘彈體。后三種模型，在循環(huán)應(yīng)力作用下，都會產(chǎn)生應(yīng)力一應(yīng)變的滯回圈。本文采用的是非線性彈性體模型。在應(yīng)力由上升轉(zhuǎn)為下降時，由于應(yīng)變的滯后，由應(yīng)力差與應(yīng)變差之比定義的模量會出現(xiàn)突變。這是由于裂紋的打開和關(guān)閉壓力不同所造成的。在P—M模型中有較為詳細的討論。

模量隨應(yīng)力的突變給波速的計算帶來了困難，但由于模量相對于應(yīng)變是連續(xù)的，是不變的，因此用應(yīng)變來替代模量和應(yīng)力，非彈性模量與應(yīng)變的關(guān)系。水飽和將使介質(zhì)變硬，與干燥狀態(tài)相比，模量不但數(shù)值大，而且上升速率快。但波速與應(yīng)變的單值函數(shù)依然存在，只是常數(shù)C和B的值有所不同。利用本文的有關(guān)公式，可通過巖石樣品的應(yīng)力應(yīng)變曲線來預(yù)測其波速在不同壓力狀態(tài)或不同深度時的變化。 2100433B

靜態(tài)彈性模量是描述黏性土性質(zhì)的關(guān)鍵參數(shù)，是工程選址、設(shè)計、施工等的科學(xué)依據(jù)，但靜態(tài)彈性模量需從地下取出待研究層段的巖芯、通過室內(nèi)傳統(tǒng)的土工試驗來確定，并存在原位和試驗兩者邊界條件的差異，且因取樣的有限性和局限性難避免以點代線和代面現(xiàn)象。彈性波速度與巖土的密度、巖土性質(zhì)、砂粒數(shù)量與膠結(jié)程度、孔隙充填物與飽和度等直接相關(guān)，由縱橫波速度可無損、低成本和快速獲取巖土的動態(tài)彈性模量。因此，為了便于應(yīng)用于實際工程中，必須將它們轉(zhuǎn)換為靜態(tài)彈性模量，也就說必須建立起動、靜態(tài)彈性模量之間的關(guān)系。早在 1933 年，Harvard 大學(xué)的 W. Zisman就認為巖石動、靜態(tài)彈性模量之間存在差異，之后許多研究人員對此進行了研究 。

在線彈性變形范圍內(nèi)，巖石剪應(yīng)力與剪應(yīng)變的關(guān)系服從剪切胡克定律，此時，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變的比為常數(shù)，該比例常數(shù)稱為巖石的剪切彈性模量。剪切彈性模量與拉壓彈性模量的量綱相同，國際單位為MPa 。

Y與X之間存在線性關(guān)系，但是Y和參數(shù)

對于非線性回歸分析，只有參數(shù)的線性回歸分析才是重要的，因為變量的非線性可通過適當(dāng)?shù)闹匦露x來解決 。