本項(xiàng)目主要研究了以可壓Navier-Stokes方程為背景的非線性拋物雙曲耦合方程組的可解性問題。 研究的內(nèi)容涉及Navier-Stokes方程在有界域上小初始能量整體古典解的存在性問題；研究Cauchy問題局部解和整體古典解的存在性問題， 其中包括一維和高維在各種不同條件下的可解性問題；研究粘性系數(shù)依賴密度的可壓Navier-Stokes方程的可解性問題。研究和Navier-Stokes方程相關(guān)的磁流體方程的一些問題。項(xiàng)目基本按照預(yù)先制定的計(jì)劃有序的進(jìn)行，取得一些有意義的成果； 如在有界域上證明了Navier-Stokes方程在初始小能量假設(shè)下存在整體光滑解， 對粘性系數(shù)依賴于密度的Navier-Stokes方程證明了局部古典解的存在性， 對任意初始條件的Navier-Stokes方程當(dāng)粘性系數(shù)在一定范圍內(nèi)證明了Cauchy問題存在整體光滑解。這些成果受到國內(nèi)外同行的關(guān)注。 由于擬研究問題的復(fù)雜性，該項(xiàng)目有一些的預(yù)定研究目標(biāo)沒有得到滿意的結(jié)果， 如可壓Navier-Stokes的第一邊值問題的整體適定性問題； 粘性系數(shù)依賴于密度（退化粘性）的Navier-Stokes方程的可解性等問題，這些都是今后繼續(xù)研究的問題。 2100433B

許多有重要物理背景的數(shù)學(xué)模型可歸結(jié)為非線性拋物-雙曲方程組， 如來自流體力學(xué)的可壓Navier-Stokes方程、磁流體方程、向列型可壓液晶流方程、淺水波方程等。 由于方程組中的強(qiáng)非線性、強(qiáng)耦合性、以及出現(xiàn)真空或質(zhì)量集中時(shí)方程產(chǎn)生的退化性和奇性， 使得這類問題的整體可解性研究變得極具困難； 另一方面也使對這些問題的研究在數(shù)學(xué)上有很大的挑戰(zhàn)性， 長期以來吸引了許多數(shù)學(xué)家的關(guān)注和興趣。本項(xiàng)目擬從數(shù)學(xué)理論研究的角度出發(fā)，利用近年來逐步完善的非線性退化拋物、橢圓理論以及調(diào)和分析、幾何分析中的新的思想方法研究具有重要物理背景的拋物-雙曲組的可解性問題， 如：具一般初始條件的可壓Navier-Stokes方程整體強(qiáng)解的存在性和弱解的奇性分析； 研究粘性系數(shù)依賴密度的可壓N-S方程整體可解性問題； 研究Prandtl邊界層方程的可解性問題； 研究磁流體方程以及向列型可壓液晶系統(tǒng)的整體可解性問題。

《大壩工程滲流非線性問題》內(nèi)容涉及到大壩工程滲流力學(xué)的主要最新進(jìn)展。第l章簡要介紹大壩工程滲流力學(xué)概述和大壩工程滲流非線性問題類型。第2章討論了裂隙巖體滲流分析。第3-5章分別論述了滲流區(qū)域非線性問題、滲流本構(gòu)關(guān)系非線性問題和裂隙巖體非飽和滲流。第6-8章討論了滲流場與應(yīng)力場耦合分析、滲流場與溫度場耦合分析和巖體離散裂隙網(wǎng)絡(luò)滲流－溶質(zhì)運(yùn)移數(shù)值模擬，第6-8章內(nèi)容分別論述了3種不同類型的滲流耦合非線性問題。第9章則討論了遺傳算法在大壩滲流分析中的應(yīng)用。第1章則是相關(guān)理論的工程應(yīng)用實(shí)例。《大壩工程滲流非線性問題》可供水工結(jié)構(gòu)工程、巖土工程、土木工程、水文地質(zhì)、工程地質(zhì)、采礦工程、油藏工程等方面的專業(yè)技術(shù)人員參考，也可作為高等院校相關(guān)專業(yè)高年級大學(xué)生和研究生的參考用書。

拋物型方程及方程組的爆破時(shí)間最優(yōu)控制問題在實(shí)際生活中有廣泛的應(yīng)用。例如可以用來描述通過施加催化劑使化學(xué)反應(yīng)在最短時(shí)間內(nèi)完成等現(xiàn)象。我們依計(jì)劃得到了拋物型方程及方程組的爆破時(shí)間最優(yōu)控制問題的存在性和Pontryagin最大值原理等結(jié)論。本項(xiàng)目的主要目標(biāo)是解決拋物型方程及方程組的時(shí)間最優(yōu)控制問題。為了看清問題的本質(zhì)， 找到相對簡單的情形時(shí)問題的解決方法，我們增加了常微分方程組爆破時(shí)間最優(yōu)控制問題的研究，得到了某些常微分方程組爆破時(shí)間最優(yōu)控制問題的存在性和Pontryagin最大值原理等結(jié)論。同時(shí)，我們在項(xiàng)目的進(jìn)展中發(fā)現(xiàn)熄滅是比爆破更廣的概念，爆破可以看作是一種特殊的熄滅現(xiàn)象。因此，我們在本項(xiàng)目中增加了熄滅時(shí)間最優(yōu)控制問題的研究。由于爆破時(shí)間最優(yōu)控制問題屬于不適定方程最優(yōu)控制問題的研究范疇，橢圓方程不適定最優(yōu)控制問題的研究對拋物型方程爆破時(shí)間最優(yōu)控制問題的研究有一定的指導(dǎo)意義， 故而我們增加了不適定橢圓方程最優(yōu)控制問題的研究；此外，時(shí)間最優(yōu)控制與能控性有密切的聯(lián)系。我們在本項(xiàng)目中增加了拋物型方程能控性問題的研究。

本項(xiàng)目原計(jì)劃研究下述三個(gè)反問題：(1)較一般的二階雙曲型方程組的反問題；(2)非各向同性介質(zhì)中動態(tài)彈性力學(xué)方程組的反問題；(3)關(guān)于初值為零時(shí)通過脈沖輸入法來決定波動方程中波速的反問題。關(guān)于問題(1),我們嚴(yán)格按照項(xiàng)目計(jì)劃進(jìn)行了研究，并且取得了良好的進(jìn)展，實(shí)現(xiàn)了本項(xiàng)目計(jì)劃的預(yù)期目標(biāo)，相關(guān)論文已經(jīng)被Applicable Analysis雜志接受并且已經(jīng)在網(wǎng)上發(fā)表。關(guān)于問題(2), 我們按計(jì)劃研究了非各向同性介質(zhì)中動態(tài)彈性力學(xué)方程組的反問題，但是遇到了很大的困難，沒有能實(shí)現(xiàn)項(xiàng)目計(jì)劃的預(yù)期目標(biāo)。關(guān)于問題(3),我們正在按計(jì)劃進(jìn)行研究，預(yù)計(jì)本項(xiàng)目計(jì)劃的預(yù)期目標(biāo)能夠被實(shí)現(xiàn)，但是相關(guān)研究還在進(jìn)行中，還沒有被完全完成。此外，我們還研究了下述幾個(gè)與本項(xiàng)目相關(guān)的內(nèi)容。首先我們研究了非均勻雙耦合各向同性且電導(dǎo)率非穩(wěn)態(tài)的介質(zhì)中Maxwell 方程組的反系數(shù)問題，相關(guān)研究內(nèi)容已經(jīng)在《中國科學(xué)：數(shù)學(xué)》雜志上發(fā)表。其次，我們建立了關(guān)于二軸非各向同性介質(zhì)中麥克斯偉方程組的Caleman 估計(jì)，并且打算把它應(yīng)用到關(guān)于麥克斯偉方程組的同時(shí)決定本構(gòu)關(guān)系中二軸電容率，磁導(dǎo)率張量的反問題中。另外，我們與與國外同行一起合作研究了關(guān)于在無限長管道中雙曲型方程的反系數(shù)問題，取得了良好的研究結(jié)果，相關(guān)論文已經(jīng)被投稿。此外，我們還研究了一階擬線性雙曲型方程的反源問題，相關(guān)研究結(jié)果已經(jīng)被Journal of Mathematics and Its Applications雜志接受。