算術關系是遞歸關系的推廣。是可以通過對遞歸關系添加有窮個量詞定義的關系，即可以表示Q₁x₁Q₂x₂…Q_nx_nR(x₁，x₂，…，x_n，a₁，a₂，…，a_n)形的關系，其中R為遞歸關系，Q₁，Q₂，…，Q_n為一階量詞?或?。等價地，算術關系亦是可以從遞歸關系出發，經有限次否定與射影運算得到的關系。算術關系的定義是由美國邏輯學家、數學家克林(Kleene，S.C.)與波蘭數學家莫斯托夫斯基(Mostowski，A.)給出的。

從可判定(或可計算)的角度上說，遞歸關系具有最小的復雜性，但遞歸關系對(不受限)量詞不封閉，而算術關系類則為遞歸關系類對量詞封閉的最小擴張，因此算術關系的概念可看做遞歸關系概念的推廣。實際上，任何算術關系也恰為一階算術可定義關系，這也是“算術”一詞的來源。

遞歸關系是序列的項之間的一種關系。指序列的任一項均被其前若干項所確定的那種關系。對于數列{a_n|n=0，1，2，…}，若當n≥0時，恒有關系式：

a_{n k}=F(a_{n k-1}，…，a_n)，

這里k為正整數，F為元a_{n k-1}，…，a_n的代數函數，且a_n必在式中出現，則a_{n k}=F(a_{n k-1}，…，a_n)稱為數列{a_n|n=0，1，2，…}的一個逆歸關系。若給定此遞歸關系，且給出a₀，a₁，…，a_k-1的一組初值，則數列{a_n|n=0，1，2，…}完全確定。例如，遞歸關系a_{n 2}=a_{n 1} a_n及初值a₀=a₁=1完全確定數列1，1，2，3，5，8，…，稱為斐波那契數列。使用計算機，根據給定遞歸關系和初值計算相應的數列的項很方便。因此，遞歸關系是研究數列的一個有力工具。

解析分層亦稱解析譜系。按照量詞復雜性對解析關系所作的遞歸論分層。與算術分層類似，任何解析關系可以用算術關系加上有窮個交替出現的二階函數量詞?′與?′表示，依照量詞個數，可以將該解析關系納入具體的解析分層Σ¹_n或π¹_n中。形式地，具體的解析分層Σ¹_n，π¹_n，Δ¹_n可遞歸定義如下：

1.Σ¹₀=π¹₀={R：R為算術關系}。

2.Σ¹_{n 1}={(?′f)R(f，f₁，f₂，…，f_k，x₁，x₂，…，x_m)：R∈π¹_n}.

3.π¹_{n 1}={(?′f)R(f，f₁，f₂，…，f_k，x₁，x₂，…，x_m)：R∈Σ¹_n}。

4.Δ¹_n=Σ¹_n∩π¹_n.

Σ¹_n，π¹_n與Δ¹_n中的關系分別稱為Σ¹_n關系、π¹_n關系與Δ¹_n關系，此外，Δ¹_w定義為：∪{Σ¹_n∪π¹_n：n∈ω}，即所有解析關系的集合。此外，對n≥1，Σ¹_n關系可表示成下形范式：

(?′f₁)(?′f₂)…(Q_nf_n)(Qx)

R(f₁，…，f_n，f_{n 1}，…，f_{n p}，x，x₁，…，x_q)，

其中若n為偶數，Q¹_n為?′，Q⁰為?⁰；若n為奇數，Q¹_n為?′，Q⁰為?⁰；而R為遞歸關系。π¹_n關系也可表示成以?′開頭的類似表達式.解析分層還具有如下封閉性：

1.Σ¹_n，π¹_n，Δ¹_n對合取、析取運算與一階量詞封閉。

2.Δ¹_n對否定運算封閉。

3.R∈Σ¹_n，當且僅當?R∈π¹_n；

R∈π¹_n，當且僅當?R∈Σ¹_n。

4.對n≥1，Σ¹_n對二階量詞?′封閉，π_n對二階量詞?′封閉。

關于解析分層的其他性質，參見“解析枚舉定理”。此外，與算術分層不同，Δ¹₁≠Σ¹₀=π¹₀=Δ¹₀，Δ¹₁的關系稱為超算術關系。

相對解析分層(relativized analytical bierarchy)是解析分層概念的相對化。即對相對算術關系依量詞復雜性進行的遞歸論分層。具體地，對自然數集A，相對A的解析分層Σ^1,A_n，π^1,A_n與Δ^1,A_n可遞歸定義如下：

1.Σ^1,A₀=π^1,A₀={R：R為相對A的算術關系}。

2.Σ^1,A_{n 1}={(?′f)R(f，f₁，f₂，…，f_k，x₁，x₂，…，x_m)：R∈π^1,A_n}。

3.π^1,A_{n 1}={(?′f)R(f，f₁，f₂，…，f_k，x₁，x₂，…，x_m)：R∈Σ^1,A_n}。

4.Δ^1,A_n=Σ^1,A_n∩π^1,A_n。

Σ^1,A_n，π^1,A_n與Δ^1,A_n中的關系分別稱為Σ^1,A_n關系，π^1,A_n關系與Δ^1,A_n關系。此外，用Δ^1,A_w表示∪{Σ^1,A_n∪π^1,A_n：n∈w}，即所有相對A的解析關系的集合。

算術關系概念的相對化。對自然數集A和關系R，若R可表示成(Q₁x₁)(Q₂x₂)…(Q_nx_n)S(x₁，x₂，…，x_n，a₁，a₂，…，a_m)的形式，其中Q₁，Q₂，…，Q_n為量詞?或?，S為相對A遞歸的關系，則稱R為相對于A的算術關系。若集合B是相對于A的(一元)算術關系，即B可表示成：{x：(Q₁y₁)(Q₂y₂)…(Q_ny_n)S(y₁，y₂，…，y_n，x)}其中Q₁，Q₂，…，Q_n為量詞，S為相對于A遞歸的n 1元關系，則稱B為相對于A的算術集，并記為B≤_aA，亦稱B可算術化歸到A。由算術化歸關系可導出算術等價的概念。對集合A，B，若A≤_aB，并且B≤_aA，則稱A，B算術等價，記為A≡_aB。2100433B

自動數據分層（automated data tiering）是一種軟件程序，它根據公司規定的政策移動分層存儲（tiered storage）間的數據文件、卷或區塊。

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為了決定數據存儲的位置，自動數據分層（automated data tiering）監控數據使用情況。頻繁訪問的數據會保留在高性能光纖通道（Fibre Channel）或是固態硬盤（solid-state drive）中，而低頻訪問的數據則被轉移到低成本、高容量的本地驅動或是云存儲中。

廠商聲稱，自動數據分層（automated data tiering）帶來了多種好處。它能減少存儲分層間動態分類和遷移數據時管理存儲所需的時間。通過把低頻訪問數據轉移到低成本驅動，組織不僅能省下用于高性能驅動的花費，還能通過減輕負載來提高性能。另外，減少活動文件的數據可以減少日常備份時間。2100433B