許多有重要物理背景的數學模型可歸結為非線性拋物-雙曲方程組， 如來自流體力學的可壓Navier-Stokes方程、磁流體方程、向列型可壓液晶流方程、淺水波方程等。 由于方程組中的強非線性、強耦合性、以及出現真空或質量集中時方程產生的退化性和奇性， 使得這類問題的整體可解性研究變得極具困難； 另一方面也使對這些問題的研究在數學上有很大的挑戰性， 長期以來吸引了許多數學家的關注和興趣。本項目擬從數學理論研究的角度出發，利用近年來逐步完善的非線性退化拋物、橢圓理論以及調和分析、幾何分析中的新的思想方法研究具有重要物理背景的拋物-雙曲組的可解性問題， 如：具一般初始條件的可壓Navier-Stokes方程整體強解的存在性和弱解的奇性分析； 研究粘性系數依賴密度的可壓N-S方程整體可解性問題； 研究Prandtl邊界層方程的可解性問題； 研究磁流體方程以及向列型可壓液晶系統的整體可解性問題。

本項目主要研究了以可壓Navier-Stokes方程為背景的非線性拋物雙曲耦合方程組的可解性問題。 研究的內容涉及Navier-Stokes方程在有界域上小初始能量整體古典解的存在性問題；研究Cauchy問題局部解和整體古典解的存在性問題， 其中包括一維和高維在各種不同條件下的可解性問題；研究粘性系數依賴密度的可壓Navier-Stokes方程的可解性問題。研究和Navier-Stokes方程相關的磁流體方程的一些問題。項目基本按照預先制定的計劃有序的進行，取得一些有意義的成果； 如在有界域上證明了Navier-Stokes方程在初始小能量假設下存在整體光滑解， 對粘性系數依賴于密度的Navier-Stokes方程證明了局部古典解的存在性， 對任意初始條件的Navier-Stokes方程當粘性系數在一定范圍內證明了Cauchy問題存在整體光滑解。這些成果受到國內外同行的關注。 由于擬研究問題的復雜性，該項目有一些的預定研究目標沒有得到滿意的結果， 如可壓Navier-Stokes的第一邊值問題的整體適定性問題； 粘性系數依賴于密度（退化粘性）的Navier-Stokes方程的可解性等問題，這些都是今后繼續研究的問題。 2100433B

《大壩工程滲流非線性問題》內容涉及到大壩工程滲流力學的主要最新進展。第l章簡要介紹大壩工程滲流力學概述和大壩工程滲流非線性問題類型。第2章討論了裂隙巖體滲流分析。第3-5章分別論述了滲流區域非線性問題、滲流本構關系非線性問題和裂隙巖體非飽和滲流。第6-8章討論了滲流場與應力場耦合分析、滲流場與溫度場耦合分析和巖體離散裂隙網絡滲流－溶質運移數值模擬，第6-8章內容分別論述了3種不同類型的滲流耦合非線性問題。第9章則討論了遺傳算法在大壩滲流分析中的應用。第1章則是相關理論的工程應用實例。《大壩工程滲流非線性問題》可供水工結構工程、巖土工程、土木工程、水文地質、工程地質、采礦工程、油藏工程等方面的專業技術人員參考，也可作為高等院校相關專業高年級大學生和研究生的參考用書。

拋物型方程及方程組的爆破時間最優控制問題在實際生活中有廣泛的應用。例如可以用來描述通過施加催化劑使化學反應在最短時間內完成等現象。我們依計劃得到了拋物型方程及方程組的爆破時間最優控制問題的存在性和Pontryagin最大值原理等結論。本項目的主要目標是解決拋物型方程及方程組的時間最優控制問題。為了看清問題的本質， 找到相對簡單的情形時問題的解決方法，我們增加了常微分方程組爆破時間最優控制問題的研究，得到了某些常微分方程組爆破時間最優控制問題的存在性和Pontryagin最大值原理等結論。同時，我們在項目的進展中發現熄滅是比爆破更廣的概念，爆破可以看作是一種特殊的熄滅現象。因此，我們在本項目中增加了熄滅時間最優控制問題的研究。由于爆破時間最優控制問題屬于不適定方程最優控制問題的研究范疇，橢圓方程不適定最優控制問題的研究對拋物型方程爆破時間最優控制問題的研究有一定的指導意義， 故而我們增加了不適定橢圓方程最優控制問題的研究；此外，時間最優控制與能控性有密切的聯系。我們在本項目中增加了拋物型方程能控性問題的研究。

本項目原計劃研究下述三個反問題：(1)較一般的二階雙曲型方程組的反問題；(2)非各向同性介質中動態彈性力學方程組的反問題；(3)關于初值為零時通過脈沖輸入法來決定波動方程中波速的反問題。關于問題(1),我們嚴格按照項目計劃進行了研究，并且取得了良好的進展，實現了本項目計劃的預期目標，相關論文已經被Applicable Analysis雜志接受并且已經在網上發表。關于問題(2), 我們按計劃研究了非各向同性介質中動態彈性力學方程組的反問題，但是遇到了很大的困難，沒有能實現項目計劃的預期目標。關于問題(3),我們正在按計劃進行研究，預計本項目計劃的預期目標能夠被實現，但是相關研究還在進行中，還沒有被完全完成。此外，我們還研究了下述幾個與本項目相關的內容。首先我們研究了非均勻雙耦合各向同性且電導率非穩態的介質中Maxwell 方程組的反系數問題，相關研究內容已經在《中國科學：數學》雜志上發表。其次，我們建立了關于二軸非各向同性介質中麥克斯偉方程組的Caleman 估計，并且打算把它應用到關于麥克斯偉方程組的同時決定本構關系中二軸電容率，磁導率張量的反問題中。另外，我們與與國外同行一起合作研究了關于在無限長管道中雙曲型方程的反系數問題，取得了良好的研究結果，相關論文已經被投稿。此外，我們還研究了一階擬線性雙曲型方程的反源問題，相關研究結果已經被Journal of Mathematics and Its Applications雜志接受。