變形描述在討論非線性彈性力學(xué)問題時，取初始時刻物體在三維空間中所占的區(qū)域?yàn)閰⒖紭?gòu)形（見）,在其上取笛卡兒坐標(biāo)。在時刻物體所占的區(qū)域?yàn)楝F(xiàn)時構(gòu)形，在其上取笛卡兒坐標(biāo)。

由方程

對于有單值逆變換的情形，存在

在時刻物質(zhì)點(diǎn)的位置矢量為X，在運(yùn)動過程中，該點(diǎn)在時刻的位置矢量為，則

在時刻物質(zhì)點(diǎn)的位置矢量為X，在運(yùn)動過程中，該點(diǎn)在時刻的位置矢量為，則

其中u是該物質(zhì)點(diǎn)的位移矢量,它在

必須區(qū)分使用

描述物體變形的量有變形梯度，在

其中

近代非線性彈性力學(xué)采用變形梯度作為最基本變行量，其他應(yīng)變都可由它定義或?qū)С觥７蔷€性彈性力學(xué)較常使用上述六種應(yīng)變，而線性彈性力學(xué)只使用一種應(yīng)變，即在

早在1894年，J.芬格就提出超彈性體的有限變形理論。有限變形理論的方程冗長、復(fù)雜，并具有強(qiáng)烈的非線性，當(dāng)時的人們感到在數(shù)學(xué)上進(jìn)行一般性的討論沒有多大希望。所以這方面的研究工作長時間進(jìn)展不大。

1940年M.穆尼通過大量實(shí)驗(yàn)，提出某些類型的橡皮的彈性勢函數(shù)表達(dá)式，從而把非線性彈性理論中難題之一的彈性勢函數(shù)的形式問題向前推進(jìn)了一步，并證實(shí)橡皮是幾乎不可壓縮的材料，使它有了進(jìn)一步和發(fā)展。

1948年R.S.里夫林在任意形式的貯能函數(shù)下，得到不可壓縮彈性體的幾個簡單而重要問題的精確解。將它們應(yīng)用于橡膠制品，即使橡膠的伸長為原長的兩三倍，精度仍能達(dá)到百分之幾。在這一成就的鼓舞下，學(xué)者們重新開始探討有限變形彈性理論，并導(dǎo)致了整個的蓬勃發(fā)展。此后，非線性彈性理論就成為理性力學(xué)的重要組成部分。1952年起C.特魯斯德爾、W.諾爾、B.D.科勒曼、J.L.埃里克森、M.E.格廷、A.C.愛林根以及美籍華人王釗誠在非線性彈性力學(xué)方面作出較大貢獻(xiàn)，中國的郭仲衡于1962～1963年連續(xù)發(fā)表了多篇論文。1972年奧登等人在用有限元法進(jìn)行數(shù)值解方面做了大量有成效的工作，從而使得非線性彈性力學(xué)在工程實(shí)際中得到較廣泛的應(yīng)用。但是非線性彈性力學(xué)無論在理論方面、精確解方面還是數(shù)值近似解方面都比線性彈性力學(xué)難度大，所以至今遠(yuǎn)不如線性彈性力學(xué)成熟，有許多問題尚需進(jìn)一步探討。非線性彈性力學(xué)的基本概念和方程比較復(fù)雜，在分析中大多采用張量這一數(shù)學(xué)工具。

非線性彈性力學(xué)中存在兩種非線性：物理非線性和幾何非線性。兩種非線性是彼此無關(guān)的。

非線性彈性力學(xué)物理非線性

物理非線性,即應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系中的非線性。橡皮、高分子聚合物和生物軟組織等材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系中有這種非線性。

非線性彈性力學(xué)幾何非線性

幾何非線性,即應(yīng)變-變形梯度關(guān)系中的非線性。在薄板、薄殼、細(xì)桿、薄壁桿件的大變形問題和穩(wěn)定問題中存在幾何非線性。

非線性彈性力學(xué)的幾何方程(6)和(7)是關(guān)于位移偏導(dǎo)數(shù)的非線性方程,所以是幾何非線性的。而方程(8)和(9)是線性彈性力學(xué)中的幾何方程。在非線性彈性力學(xué)中(6)和(7)是有區(qū)別的，而在線性彈性力學(xué)中(8)和(9)沒有區(qū)別。

非線性彈性力學(xué)中的物理意義、數(shù)學(xué)意義與線性彈性力學(xué)中的相同。但由于幾何方程比較復(fù)雜，故需要采用張量的方法，利用黎曼曲率張量在歐氏空間中為零的條件導(dǎo)出應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。

應(yīng)力和平衡方程在變形后的構(gòu)形上定義應(yīng)力是最自然的，這種應(yīng)力稱為柯西應(yīng)力(或歐拉應(yīng)力)

由于有多種形式的應(yīng)力。所以相應(yīng)地有多種形式的動力學(xué)方程，它們都描述變形后物體構(gòu)形中微體的動g量守恒條件和動量矩守恒條件。由于

本構(gòu)方程在線性彈性力學(xué)中,本構(gòu)方程（即應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系）只有一種形式，即給出的方程，其圖像是一條直線。在非線性問題中，由于應(yīng)力和應(yīng)變都有多種形式，所以有多種本構(gòu)方程，其圖像是曲線（非線性），但加載、卸載是同一條曲線(與塑性力學(xué)不同)。究竟哪種應(yīng)力跟哪種應(yīng)變對應(yīng)，就要從基本的本構(gòu)公理（見本構(gòu)關(guān)系）出發(fā)來考慮。

非線性彈性力學(xué)主要通過以下兩個基本模型建立本構(gòu)方程：①彈性體理想模型。該模型假設(shè)：存在各處應(yīng)力為零的自然狀態(tài),初始構(gòu)形就取在自然狀態(tài)上,材料行為只與相對于自然狀態(tài)的現(xiàn)時變形狀態(tài)有關(guān)。可以通過兩種途徑來建立相應(yīng)的本構(gòu)方程。一種是格林方法，即從勢能函數(shù)出發(fā)來得到彈性體的本構(gòu)方程。彈性勢是任何一個應(yīng)變均可作為自變量的標(biāo)量函數(shù)。具有彈性勢的彈性體稱為超彈性體或格林意義下的彈性體。另一種是柯西方法，從彈性體的特性即“一定的應(yīng)力狀態(tài)對應(yīng)于一定的應(yīng)變狀態(tài)”出發(fā)，直接假設(shè)應(yīng)力－應(yīng)變函數(shù)關(guān)系，再通過實(shí)驗(yàn)確定其中系數(shù)。直接由這種應(yīng)力－應(yīng)變函數(shù)關(guān)系描述的物體叫柯西意義下的彈性體，或直接叫作彈性體。各向同性超彈性體一定是各向同性彈性體，但彈性體只有當(dāng)其應(yīng)力- 應(yīng)變關(guān)系中的系數(shù)滿足一定的關(guān)系時才是超彈性體，才具有相應(yīng)的彈性勢。在這個意義上說來，柯西彈性體是一個比超彈性體更為廣泛的概念。②低彈性體模型。1955年特魯斯德爾從時間變化率出發(fā)，為體現(xiàn)簡單變率理論的理想模型而引出低彈性的概念。應(yīng)力的本構(gòu)導(dǎo)數(shù)是變形速率的線性齊次函數(shù)的物體叫作低彈性體。諾爾證明應(yīng)力關(guān)系

彈性體、超彈性體都假設(shè)存在一個自然狀態(tài)，而低彈性體完全不需要這個假設(shè)。低彈性理論和有限彈性應(yīng)變經(jīng)典理論體現(xiàn)不同的彈性概念，其中任何一個不能包括另一個。在幾何線性、物理線性和存在自然狀態(tài)的前提下，低彈性、彈性、超彈性三者等價。

非線性彈性力學(xué)中的各變分原理都可從虛功原理統(tǒng)一導(dǎo)出，方法和步驟同線性彈性力學(xué)中的相同。非線性彈性力學(xué)的應(yīng)力、應(yīng)變形式多種多樣，對應(yīng)的變分原理的形式也比線性彈性力學(xué)中多。在非線性彈性理論中，是否存在線性理論中那種應(yīng)力場是唯一獨(dú)立變量的余能原理，是一個近年來引起廣泛興趣的問題。平衡方程中應(yīng)力與位移的耦合，使這一問題至今尚未徹底解決，甚至問題的這種提法是否恰當(dāng)也有待研究。

為了使讀者在掌握非線性彈性力學(xué)、板殼大變形理論及流體力學(xué)等知識的基礎(chǔ)上，了解耦合場理論中流體與彈性體相互作用下的流固耦合問題的基本概念、基本原理和計算方法，進(jìn)而掌握解決耦合場作用下的非線性彈性變形問題的解題方法，白象忠、郝亞娟、田振國所*的《板殼非線性流體彈性力學(xué)（精）》一書在流體彈性力學(xué)所研究的問題中，將重點(diǎn)介紹以下幾方面內(nèi)容：（1）給出流體彈性力學(xué)問題的非線性狀態(tài)方程，以解決可變形物體的大變形問題，并進(jìn)一步給出簡化的關(guān)系式。（2）介紹描述相互作用的任意拉格朗日-歐拉法、相容拉格朗日-歐拉法、單一拉格朗日法、單一歐拉法，以及求解時需要的各種條件。（3）給出流體彈性力學(xué)的分類及其簡化的方程組，其分類的基礎(chǔ)是彈性體的變形場、流體的速度場及壓力場的可變性；在求解各類構(gòu)件的流固耦合問題中，重點(diǎn)介紹相容拉格朗日-歐拉法的算法，并給出相應(yīng)的算例。（4）將非線性流體彈性動力學(xué)問題深入到混沌、分岔的研究領(lǐng)域中。研究流固耦合的典型問題，如氣缸缸底、管狀柔性彈性體中的混沌運(yùn)動分析與分岔現(xiàn)象。 2100433B

液體、氣體的運(yùn)動與彈性結(jié)構(gòu)的相互作用是用流體彈性力學(xué)理論來描述的。由于其交叉性質(zhì)，在許多學(xué)科和工程領(lǐng)域中，流體彈性力學(xué)之課題都成了主要的研究內(nèi)容，并被廣泛應(yīng)用。在流體與彈性體相互作用的非線性問題分類的基礎(chǔ)上，本書重點(diǎn)介紹：求解流體彈性力學(xué)問題的相容拉格朗日－歐拉法；流體彈性力學(xué)的基本方程，建立介質(zhì)接觸表面問題的必要條件；板殼同液體相互作用非線性問題的計算方法及應(yīng)用算例；將非線性流體彈性動力學(xué)問題深入到混沌、分岔的研究領(lǐng)域之中。本書是從事航空、航天、船舶設(shè)計、儀器儀表、流體機(jī)械、水下工程、機(jī)械設(shè)計制造等領(lǐng)域的工程技術(shù)人員及科研工作者，在研究流體作用下的板殼強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性計算時的必備參考讀物，同時也是高等院校力學(xué)、物理、機(jī)械設(shè)計等相關(guān)專業(yè)的教師、研究生、本科生的參考用書。

第1 章緒論 1

1. 1 非線性流體彈性力學(xué)與流固耦合 1

1. 1. 1 線性流體彈性力學(xué)與非線性流體彈性力學(xué) 1

1. 1. 2 非線性流體彈性力學(xué)的特征 2

1. 1. 3 非線性流體彈性力學(xué)的研究內(nèi)容 3

1. 1. 4 流體彈性力學(xué)分類原則與分類方法 3

1. 2 非線性流體彈性力學(xué)的研究方法 4

1. 2. 1 描述介質(zhì)相互作用的四種方法 5

1. 2. 2 理論分析法 6

1. 2. 3 實(shí)驗(yàn)分析法 6

1. 2. 4 半解析法 6

1. 2. 5 數(shù)值分析法 7

1. 3 工程領(lǐng)域中的非線性流體彈性力學(xué)問題 8

1. 3. 1 非線性氣動彈性力學(xué)問題 8

1. 3. 2 非線性水彈性力學(xué)問題 9

1. 3. 3 非線性生物流體彈性力學(xué)問題 10

1. 3. 4 環(huán)境流體彈性力學(xué)問題 10

1. 3. 5 微尺度流體彈性力學(xué)問題 11

1. 3. 6 渦激振動問題 11

1. 4 非線性流體彈性力學(xué)發(fā)展所面臨的任務(wù) 11

參考文獻(xiàn) 12

第2 章流體力學(xué)基本方程 14

2. 1 流體運(yùn)動學(xué)基礎(chǔ) 14

2. 1. 1 拉格朗日法（質(zhì)點(diǎn)法） 14

2. 1. 2 歐拉法（空間點(diǎn)法） 15

2. 1. 3拉格朗日描述與歐拉描述的互為轉(zhuǎn)換 17

2. 1. 4連續(xù)方程 19

2. 1. 5 流函數(shù)與速度勢 22

2. 1. 6 源或匯 25

2. 1. 7 偶極 26

2. 2 理想流體動力學(xué)基本方程 26

2. 2. 1 歐拉運(yùn)動微分方程 26

2. 2. 2 伯努利積分（定常運(yùn)動沿流線的積分） 27

2. 2. 3 拉格朗日積分（非定常無旋運(yùn)動的積分） 29

2. 2. 4 定常流動中的動量和動量矩定理 29

2. 3 用應(yīng)力表示的運(yùn)動微分方程 30

2. 4 納維爾 －斯托克斯方程（N － S 方程） 31

2. 5 任意變形坐標(biāo)系下的公式 32

2. 6 突變表面的邊界條件 34

參考文獻(xiàn) 35

第3 章板殼力學(xué)基本方程 36

3. 1 彈性殼體變形的基本關(guān)系 36

3. 1. 1 坐標(biāo)系的建立 36

3. 1. 2 彈性殼體變形的基本關(guān)系式 36

3. 1. 3 彈性殼體表面的變形 39

3. 2 微分單元體的應(yīng)力狀態(tài)及力學(xué)基本方程 43

3. 2. 1 微分單元體的應(yīng)力狀態(tài) 43

3. 2. 2 廣義胡克定律 44

3. 2. 3 彈性關(guān)系 45

3. 2. 4 邊界條件 46

3. 3 彈性殼體的平衡方程 47

參考文獻(xiàn) 49

第4 章非線性流體彈性力學(xué)的理論基礎(chǔ) 50

4. 1 介質(zhì)相互作用的描述方法 50

4. 2 求解流固耦合問題的四種方法 52

4. 2. 1 相容拉格朗日 －歐拉法（ULE 法） 52

4. 2. 2 任意拉格朗日 －歐拉法（ALE 法） 53

4. 2. 3 單一拉格朗日法（SL 法） 54

4. 2. 4單一歐拉法（SE 法） 54

4. 2. 5關(guān)于四種方法的應(yīng)用 54

4. 3 相容拉格朗日 －歐拉法 56

4. 3. 1 接觸面的運(yùn)動學(xué)條件和動力學(xué)條件 56

4. 3. 2 初始表面接觸條件 59

4. 4 流體彈性力學(xué)問題的分類 61

4. 4. 1 參數(shù) m，n，k 和 λ，δ 的引入 61

4. 4. 2 流體彈性力學(xué)問題的分類方法 61

4. 4. 3 大應(yīng)變問題 62

4. 4. 4 小應(yīng)變小轉(zhuǎn)動，且應(yīng)變的大小與轉(zhuǎn)動的平方同量級 63

4. 4. 5 小應(yīng)變小轉(zhuǎn)動問題 64

4. 4. 6 流體彈性力學(xué)分類的簡化準(zhǔn)則 66

4. 5 流體與殼體的相互作用 68

4. 5. 1 殼體在大彎曲時的相互作用 68

4. 5. 2 殼體中等彎曲時的相互作用 69

4. 5. 3 殼體小彎曲時的相互作用 71

4. 6 可滲透殼體和流體的相互作用 72

4. 6. 1 接觸面上的運(yùn)動條件 73

4. 6. 2 接觸面上的動力條件 74

4. 7 殼體和黏性流體之間的相互作用 75

4. 8 單一拉格朗日法 76

4. 8. 1 單一拉格朗日法的特點(diǎn) 77

4. 8. 2 表面接觸條件 79

參考文獻(xiàn) 81

第5 章相容拉格朗日 －歐拉法求解彈性薄殼的變形 83

5. 1 彈性圓柱薄殼繞流的小變形 83

5. 1. 1 問題描述 83

5. 1. 2 方程組的建立 83

5. 1. 3 方程組的求解 85

5. 1. 4 小彎曲問題中的殼體內(nèi)力、流場壓力系數(shù)與流場函數(shù) 87

5. 2 彈性圓柱薄殼繞流的中等變形 88

5. 2. 1 方程組的建立 88

5. 2. 2 方程組的求解 89

5. 2. 3 中等彎曲問題中的殼體內(nèi)力與流場函數(shù) 90

5. 3彈性圓柱薄殼繞流的大變形 91

5. 3. 1方程組的建立 91

5. 3. 2 方程組的求解 92

5. 3. 3 大彎曲問題中的殼體內(nèi)力與流場函數(shù) 94

5. 4 圓柱殼繞流變形問題的算例 94

5. 4. 1 特定參數(shù)下殼體位移及內(nèi)力 95

5. 4. 2 流場分布 96

5. 4. 3 殼體變形和表面流體壓力系數(shù)隨相關(guān)參數(shù)的變化 97

5. 5 流固耦合問題的數(shù)值模擬 103

5. 5. 1 結(jié)構(gòu)設(shè)置、界面標(biāo)定及計算結(jié)果的后處理 103

5. 5. 2 數(shù)值解和理論解的比較分析 107

5. 6 固支淺拱形彈性殼繞流的小彎曲變形 109

5. 6. 1 求解淺拱形彈性殼體在流場中的小彎曲變形 110

5. 6. 2 算例分析 114

5. 7 固支淺拱形彈性殼繞流的中等彎曲變形 116

5. 7. 1 求解淺拱形彈性殼體在流場中的中等彎曲變形 116

5. 7. 2 算例分析 119

5. 8 固支淺拱形彈性殼繞流的大彎曲變形 121

5. 8. 1 求解淺拱形彈性殼體在流場中的大彎曲變形 121

5. 8. 2 算例分析 126

5. 9 簡支淺拱形彈性殼繞流的大彎曲變形 129

5. 9. 1 基本方程組的建立 129

5. 9. 2 方程組的解析解 130

5. 9. 3 算例分析 132

5. 10 彈性圓錐殼繞流的變形 134

5. 10. 1 剛性圓錐殼繞流 134

5. 10. 2 彈性圓錐殼流固耦合的解析解 140

5. 10. 3 算例分析 144

5. 10. 4 數(shù)值模擬 145

參考文獻(xiàn) 147

第6 章相容拉格朗日 －歐拉法求解彈性薄板的變形 148

6. 1 簡支梁式彈性薄板橫向繞流的變形及應(yīng)力分析 148

6. 1. 1 基本關(guān)系式 148

6. 1. 2 解析解 149

6. 1. 3算例及參數(shù)分析 152

6. 1. 4數(shù)值模擬 156

6. 2 固支彈性圓平板的變形 158

6. 2. 1 解析解 158

6. 2. 2 算例及參數(shù)分析 162

6. 2. 3 數(shù)值模擬 165

6. 3 彈性梁式薄板橫向繞流的大變形 167

6. 3. 1 彈性懸臂梁式薄板大變形的解析解 167

6. 3. 2 算例及參數(shù)分析 170

6. 3. 3 數(shù)值模擬 173

參考文獻(xiàn) 174

第7 章相容拉格朗日 －歐拉法求解滲透殼的變形 175

7. 1 可滲透圓柱殼流固耦合分析 175

7. 1. 1 不考慮中性面曲率改變時的關(guān)系式 175

7. 1. 2 考慮中性面曲率改變時的關(guān)系式 177

7. 1. 3 可滲透圓柱殼體的內(nèi)力 179

7. 1. 4 算例分析 180

7. 1. 5 數(shù)值模擬 182

7. 2 可滲透球殼的流固耦合分析 183

7. 2. 1 滲透球殼在黏滯流體中的耦合方程 183

7. 2. 2 攝動法解可滲透球殼的流函數(shù) 185

7. 2. 3 球殼的位移及內(nèi)力 190

7. 2. 4 算例分析 190

參考文獻(xiàn) 192

第8 章單一拉格朗日法的應(yīng)用 193

8. 1 貯箱隔層板的變形 193

8. 1. 1 隔層板的耦合方程 193

8. 1. 2 隔層板靜態(tài)問題的解 194

8. 1. 3 算例分析 196

8. 1. 4 數(shù)值模擬 199

8. 2 貯箱隔層板的振動 200

8. 2. 1 問題描述 200

8. 2. 2 位移解的函數(shù)形式 200

8. 2. 3隔層板上下表面壓力差的確定 201

8. 2. 4動力方程的解 201

8. 2. 5 算例分析 202

8. 3 氣缸彈性缸底的混沌運(yùn)動分析 206

8. 3. 1 氣體運(yùn)動方程 207

8. 3. 2 氣缸彈性缸底運(yùn)動方程的建立 208

8. 3. 3 混沌運(yùn)動分析 210

8. 4 雙層圓筒的混沌運(yùn)動分析 213

8. 4. 1 氣體運(yùn)動方程 213

8. 4. 2 外層圓筒運(yùn)動方程 214

8. 4. 3 流固耦合運(yùn)動方程的建立 214

8. 4. 4 混沌運(yùn)動分析 216

參考文獻(xiàn) 221

第9 章橢圓柱殼的繞流分析 222

9. 1 橢圓柱殼繞流函數(shù)的建立 222

9. 1. 1 橢圓柱繞流的復(fù)勢 222

9. 1. 2 橢圓柱繞流和壓力場的分析實(shí)例 223

9. 1. 3 繞拱形板的無環(huán)流動 226

9. 1. 4 橢圓柱殼面的壓力分布 228

9. 2 彈性橢圓柱殼的變形 228

9. 2. 1 橢圓柱殼的變形分析 229

9. 2. 2 圓柱殼的變形 230

9. 2. 3 圓柱與橢圓柱殼的變形比較 231

9. 3 基于 Fluent 的橢圓柱殼繞流問題的數(shù)值模擬 232

9. 3. 1 橢圓柱繞流的數(shù)值模擬 232

9. 3. 2 數(shù)值解與理論解的比較 234

9. 4 繞橢圓柱殼流動耦合問題的數(shù)值分析 235

9. 4. 1 彈性橢圓柱殼繞流耦合問題的描述 235

9. 4. 2 橢圓柱殼的變形及應(yīng)力分析 236

9. 4. 3 彈性拱殼的繞流分析 238

參考文獻(xiàn) 238

第10 章柔性薄壁管的流固耦合非線性問題 240

10. 1 柔性薄壁管的混沌運(yùn)動分析 240

10. 1. 1血液流動運(yùn)動方程 240

10. 1. 2動脈管壁運(yùn)動方程 241

10. 1. 3 流固耦合運(yùn)動方程 242

10. 1. 4 混沌運(yùn)動分析 243

10. 2 血管狹窄處管壁變形及應(yīng)力分析 250

10. 2. 1 局部狹窄脈動流的分析 251

10. 2. 2 狹窄血管管壁的變形及應(yīng)力分析 254

10. 2. 3 狹窄處植入支架的分析 262

10. 2. 4 斑塊與管壁材料特性對血管變形及應(yīng)力的影響 264

10. 2. 5 局部狹窄處植入支架后的力學(xué)分析 272

10. 3 頸動脈血管硬化的力學(xué)分析 274

10. 3. 1 頸動脈狹窄處的血壓波動方程 274

10. 3. 2 血管壁沿軸向的變形與應(yīng)力分析 279

10. 3. 3 血管壁材料參數(shù)對血管變形的影響 280

10. 3. 4 動脈硬化力學(xué)指標(biāo)的建立 281

參考文獻(xiàn) 282