本構方程在線性彈性力學中,本構方程（即應力-應變關系）只有一種形式，即給出的方程，其圖像是一條直線。在非線性問題中，由于應力和應變都有多種形式，所以有多種本構方程，其圖像是曲線（非線性），但加載、卸載是同一條曲線(與塑性力學不同)。究竟哪種應力跟哪種應變對應，就要從基本的本構公理（見本構關系）出發來考慮。

非線性彈性力學主要通過以下兩個基本模型建立本構方程：①彈性體理想模型。該模型假設：存在各處應力為零的自然狀態,初始構形就取在自然狀態上,材料行為只與相對于自然狀態的現時變形狀態有關。可以通過兩種途徑來建立相應的本構方程。一種是格林方法，即從勢能函數出發來得到彈性體的本構方程。彈性勢是任何一個應變均可作為自變量的標量函數。具有彈性勢的彈性體稱為超彈性體或格林意義下的彈性體。另一種是柯西方法，從彈性體的特性即“一定的應力狀態對應于一定的應變狀態”出發，直接假設應力－應變函數關系，再通過實驗確定其中系數。直接由這種應力－應變函數關系描述的物體叫柯西意義下的彈性體，或直接叫作彈性體。各向同性超彈性體一定是各向同性彈性體，但彈性體只有當其應力- 應變關系中的系數滿足一定的關系時才是超彈性體，才具有相應的彈性勢。在這個意義上說來，柯西彈性體是一個比超彈性體更為廣泛的概念。②低彈性體模型。1955年特魯斯德爾從時間變化率出發，為體現簡單變率理論的理想模型而引出低彈性的概念。應力的本構導數是變形速率的線性齊次函數的物體叫作低彈性體。諾爾證明應力關系

彈性體、超彈性體都假設存在一個自然狀態，而低彈性體完全不需要這個假設。低彈性理論和有限彈性應變經典理論體現不同的彈性概念，其中任何一個不能包括另一個。在幾何線性、物理線性和存在自然狀態的前提下，低彈性、彈性、超彈性三者等價。

非線性彈性力學的幾何方程(6)和(7)是關于位移偏導數的非線性方程,所以是幾何非線性的。而方程(8)和(9)是線性彈性力學中的幾何方程。在非線性彈性力學中(6)和(7)是有區別的，而在線性彈性力學中(8)和(9)沒有區別。

非線性彈性力學中的物理意義、數學意義與線性彈性力學中的相同。但由于幾何方程比較復雜，故需要采用張量的方法，利用黎曼曲率張量在歐氏空間中為零的條件導出應變協調方程。

應力和平衡方程在變形后的構形上定義應力是最自然的，這種應力稱為柯西應力(或歐拉應力)

由于有多種形式的應力。所以相應地有多種形式的動力學方程，它們都描述變形后物體構形中微體的動g量守恒條件和動量矩守恒條件。由于

變形描述在討論非線性彈性力學問題時，取初始時刻物體在三維空間中所占的區域為參考構形（見）,在其上取笛卡兒坐標。在時刻物體所占的區域為現時構形，在其上取笛卡兒坐標。

由方程

對于有單值逆變換的情形，存在

在時刻物質點的位置矢量為X，在運動過程中，該點在時刻的位置矢量為，則

在時刻物質點的位置矢量為X，在運動過程中，該點在時刻的位置矢量為，則

其中u是該物質點的位移矢量,它在

必須區分使用

描述物體變形的量有變形梯度，在

其中

近代非線性彈性力學采用變形梯度作為最基本變行量，其他應變都可由它定義或導出。非線性彈性力學較常使用上述六種應變，而線性彈性力學只使用一種應變，即在

早在1894年，J.芬格就提出超彈性體的有限變形理論。有限變形理論的方程冗長、復雜，并具有強烈的非線性，當時的人們感到在數學上進行一般性的討論沒有多大希望。所以這方面的研究工作長時間進展不大。

1940年M.穆尼通過大量實驗，提出某些類型的橡皮的彈性勢函數表達式，從而把非線性彈性理論中難題之一的彈性勢函數的形式問題向前推進了一步，并證實橡皮是幾乎不可壓縮的材料，使它有了進一步和發展。

1948年R.S.里夫林在任意形式的貯能函數下，得到不可壓縮彈性體的幾個簡單而重要問題的精確解。將它們應用于橡膠制品，即使橡膠的伸長為原長的兩三倍，精度仍能達到百分之幾。在這一成就的鼓舞下，學者們重新開始探討有限變形彈性理論，并導致了整個的蓬勃發展。此后，非線性彈性理論就成為理性力學的重要組成部分。1952年起C.特魯斯德爾、W.諾爾、B.D.科勒曼、J.L.埃里克森、M.E.格廷、A.C.愛林根以及美籍華人王釗誠在非線性彈性力學方面作出較大貢獻，中國的郭仲衡于1962～1963年連續發表了多篇論文。1972年奧登等人在用有限元法進行數值解方面做了大量有成效的工作，從而使得非線性彈性力學在工程實際中得到較廣泛的應用。但是非線性彈性力學無論在理論方面、精確解方面還是數值近似解方面都比線性彈性力學難度大，所以至今遠不如線性彈性力學成熟，有許多問題尚需進一步探討。非線性彈性力學的基本概念和方程比較復雜，在分析中大多采用張量這一數學工具。

非線性彈性力學中存在兩種非線性：物理非線性和幾何非線性。兩種非線性是彼此無關的。

非線性彈性力學物理非線性

物理非線性,即應力-應變關系中的非線性。橡皮、高分子聚合物和生物軟組織等材料的應力-應變關系中有這種非線性。

非線性彈性力學幾何非線性

幾何非線性,即應變-變形梯度關系中的非線性。在薄板、薄殼、細桿、薄壁桿件的大變形問題和穩定問題中存在幾何非線性。

非線性彈性力學中的各變分原理都可從虛功原理統一導出，方法和步驟同線性彈性力學中的相同。非線性彈性力學的應力、應變形式多種多樣，對應的變分原理的形式也比線性彈性力學中多。在非線性彈性理論中，是否存在線性理論中那種應力場是唯一獨立變量的余能原理，是一個近年來引起廣泛興趣的問題。平衡方程中應力與位移的耦合，使這一問題至今尚未徹底解決，甚至問題的這種提法是否恰當也有待研究。

為了使讀者在掌握非線性彈性力學、板殼大變形理論及流體力學等知識的基礎上，了解耦合場理論中流體與彈性體相互作用下的流固耦合問題的基本概念、基本原理和計算方法，進而掌握解決耦合場作用下的非線性彈性變形問題的解題方法，白象忠、郝亞娟、田振國所*的《板殼非線性流體彈性力學（精）》一書在流體彈性力學所研究的問題中，將重點介紹以下幾方面內容：（1）給出流體彈性力學問題的非線性狀態方程，以解決可變形物體的大變形問題，并進一步給出簡化的關系式。（2）介紹描述相互作用的任意拉格朗日-歐拉法、相容拉格朗日-歐拉法、單一拉格朗日法、單一歐拉法，以及求解時需要的各種條件。（3）給出流體彈性力學的分類及其簡化的方程組，其分類的基礎是彈性體的變形場、流體的速度場及壓力場的可變性；在求解各類構件的流固耦合問題中，重點介紹相容拉格朗日-歐拉法的算法，并給出相應的算例。（4）將非線性流體彈性動力學問題深入到混沌、分岔的研究領域中。研究流固耦合的典型問題，如氣缸缸底、管狀柔性彈性體中的混沌運動分析與分岔現象。 2100433B

液體、氣體的運動與彈性結構的相互作用是用流體彈性力學理論來描述的。由于其交叉性質，在許多學科和工程領域中，流體彈性力學之課題都成了主要的研究內容，并被廣泛應用。在流體與彈性體相互作用的非線性問題分類的基礎上，本書重點介紹：求解流體彈性力學問題的相容拉格朗日－歐拉法；流體彈性力學的基本方程，建立介質接觸表面問題的必要條件；板殼同液體相互作用非線性問題的計算方法及應用算例；將非線性流體彈性動力學問題深入到混沌、分岔的研究領域之中。本書是從事航空、航天、船舶設計、儀器儀表、流體機械、水下工程、機械設計制造等領域的工程技術人員及科研工作者，在研究流體作用下的板殼強度、剛度和穩定性計算時的必備參考讀物，同時也是高等院校力學、物理、機械設計等相關專業的教師、研究生、本科生的參考用書。

第1 章緒論 1

1. 1 非線性流體彈性力學與流固耦合 1

1. 1. 1 線性流體彈性力學與非線性流體彈性力學 1

1. 1. 2 非線性流體彈性力學的特征 2

1. 1. 3 非線性流體彈性力學的研究內容 3

1. 1. 4 流體彈性力學分類原則與分類方法 3

1. 2 非線性流體彈性力學的研究方法 4

1. 2. 1 描述介質相互作用的四種方法 5

1. 2. 2 理論分析法 6

1. 2. 3 實驗分析法 6

1. 2. 4 半解析法 6

1. 2. 5 數值分析法 7

1. 3 工程領域中的非線性流體彈性力學問題 8

1. 3. 1 非線性氣動彈性力學問題 8

1. 3. 2 非線性水彈性力學問題 9

1. 3. 3 非線性生物流體彈性力學問題 10

1. 3. 4 環境流體彈性力學問題 10

1. 3. 5 微尺度流體彈性力學問題 11

1. 3. 6 渦激振動問題 11

1. 4 非線性流體彈性力學發展所面臨的任務 11

參考文獻 12

第2 章流體力學基本方程 14

2. 1 流體運動學基礎 14

2. 1. 1 拉格朗日法（質點法） 14

2. 1. 2 歐拉法（空間點法） 15

2. 1. 3拉格朗日描述與歐拉描述的互為轉換 17

2. 1. 4連續方程 19

2. 1. 5 流函數與速度勢 22

2. 1. 6 源或匯 25

2. 1. 7 偶極 26

2. 2 理想流體動力學基本方程 26

2. 2. 1 歐拉運動微分方程 26

2. 2. 2 伯努利積分（定常運動沿流線的積分） 27

2. 2. 3 拉格朗日積分（非定常無旋運動的積分） 29

2. 2. 4 定常流動中的動量和動量矩定理 29

2. 3 用應力表示的運動微分方程 30

2. 4 納維爾 －斯托克斯方程（N － S 方程） 31

2. 5 任意變形坐標系下的公式 32

2. 6 突變表面的邊界條件 34

參考文獻 35

第3 章板殼力學基本方程 36

3. 1 彈性殼體變形的基本關系 36

3. 1. 1 坐標系的建立 36

3. 1. 2 彈性殼體變形的基本關系式 36

3. 1. 3 彈性殼體表面的變形 39

3. 2 微分單元體的應力狀態及力學基本方程 43

3. 2. 1 微分單元體的應力狀態 43

3. 2. 2 廣義胡克定律 44

3. 2. 3 彈性關系 45

3. 2. 4 邊界條件 46

3. 3 彈性殼體的平衡方程 47

參考文獻 49

第4 章非線性流體彈性力學的理論基礎 50

4. 1 介質相互作用的描述方法 50

4. 2 求解流固耦合問題的四種方法 52

4. 2. 1 相容拉格朗日 －歐拉法（ULE 法） 52

4. 2. 2 任意拉格朗日 －歐拉法（ALE 法） 53

4. 2. 3 單一拉格朗日法（SL 法） 54

4. 2. 4單一歐拉法（SE 法） 54

4. 2. 5關于四種方法的應用 54

4. 3 相容拉格朗日 －歐拉法 56

4. 3. 1 接觸面的運動學條件和動力學條件 56

4. 3. 2 初始表面接觸條件 59

4. 4 流體彈性力學問題的分類 61

4. 4. 1 參數 m，n，k 和 λ，δ 的引入 61

4. 4. 2 流體彈性力學問題的分類方法 61

4. 4. 3 大應變問題 62

4. 4. 4 小應變小轉動，且應變的大小與轉動的平方同量級 63

4. 4. 5 小應變小轉動問題 64

4. 4. 6 流體彈性力學分類的簡化準則 66

4. 5 流體與殼體的相互作用 68

4. 5. 1 殼體在大彎曲時的相互作用 68

4. 5. 2 殼體中等彎曲時的相互作用 69

4. 5. 3 殼體小彎曲時的相互作用 71

4. 6 可滲透殼體和流體的相互作用 72

4. 6. 1 接觸面上的運動條件 73

4. 6. 2 接觸面上的動力條件 74

4. 7 殼體和黏性流體之間的相互作用 75

4. 8 單一拉格朗日法 76

4. 8. 1 單一拉格朗日法的特點 77

4. 8. 2 表面接觸條件 79

參考文獻 81

第5 章相容拉格朗日 －歐拉法求解彈性薄殼的變形 83

5. 1 彈性圓柱薄殼繞流的小變形 83

5. 1. 1 問題描述 83

5. 1. 2 方程組的建立 83

5. 1. 3 方程組的求解 85

5. 1. 4 小彎曲問題中的殼體內力、流場壓力系數與流場函數 87

5. 2 彈性圓柱薄殼繞流的中等變形 88

5. 2. 1 方程組的建立 88

5. 2. 2 方程組的求解 89

5. 2. 3 中等彎曲問題中的殼體內力與流場函數 90

5. 3彈性圓柱薄殼繞流的大變形 91

5. 3. 1方程組的建立 91

5. 3. 2 方程組的求解 92

5. 3. 3 大彎曲問題中的殼體內力與流場函數 94

5. 4 圓柱殼繞流變形問題的算例 94

5. 4. 1 特定參數下殼體位移及內力 95

5. 4. 2 流場分布 96

5. 4. 3 殼體變形和表面流體壓力系數隨相關參數的變化 97

5. 5 流固耦合問題的數值模擬 103

5. 5. 1 結構設置、界面標定及計算結果的后處理 103

5. 5. 2 數值解和理論解的比較分析 107

5. 6 固支淺拱形彈性殼繞流的小彎曲變形 109

5. 6. 1 求解淺拱形彈性殼體在流場中的小彎曲變形 110

5. 6. 2 算例分析 114

5. 7 固支淺拱形彈性殼繞流的中等彎曲變形 116

5. 7. 1 求解淺拱形彈性殼體在流場中的中等彎曲變形 116

5. 7. 2 算例分析 119

5. 8 固支淺拱形彈性殼繞流的大彎曲變形 121

5. 8. 1 求解淺拱形彈性殼體在流場中的大彎曲變形 121

5. 8. 2 算例分析 126

5. 9 簡支淺拱形彈性殼繞流的大彎曲變形 129

5. 9. 1 基本方程組的建立 129

5. 9. 2 方程組的解析解 130

5. 9. 3 算例分析 132

5. 10 彈性圓錐殼繞流的變形 134

5. 10. 1 剛性圓錐殼繞流 134

5. 10. 2 彈性圓錐殼流固耦合的解析解 140

5. 10. 3 算例分析 144

5. 10. 4 數值模擬 145

參考文獻 147

第6 章相容拉格朗日 －歐拉法求解彈性薄板的變形 148

6. 1 簡支梁式彈性薄板橫向繞流的變形及應力分析 148

6. 1. 1 基本關系式 148

6. 1. 2 解析解 149

6. 1. 3算例及參數分析 152

6. 1. 4數值模擬 156

6. 2 固支彈性圓平板的變形 158

6. 2. 1 解析解 158

6. 2. 2 算例及參數分析 162

6. 2. 3 數值模擬 165

6. 3 彈性梁式薄板橫向繞流的大變形 167

6. 3. 1 彈性懸臂梁式薄板大變形的解析解 167

6. 3. 2 算例及參數分析 170

6. 3. 3 數值模擬 173

參考文獻 174

第7 章相容拉格朗日 －歐拉法求解滲透殼的變形 175

7. 1 可滲透圓柱殼流固耦合分析 175

7. 1. 1 不考慮中性面曲率改變時的關系式 175

7. 1. 2 考慮中性面曲率改變時的關系式 177

7. 1. 3 可滲透圓柱殼體的內力 179

7. 1. 4 算例分析 180

7. 1. 5 數值模擬 182

7. 2 可滲透球殼的流固耦合分析 183

7. 2. 1 滲透球殼在黏滯流體中的耦合方程 183

7. 2. 2 攝動法解可滲透球殼的流函數 185

7. 2. 3 球殼的位移及內力 190

7. 2. 4 算例分析 190

參考文獻 192

第8 章單一拉格朗日法的應用 193

8. 1 貯箱隔層板的變形 193

8. 1. 1 隔層板的耦合方程 193

8. 1. 2 隔層板靜態問題的解 194

8. 1. 3 算例分析 196

8. 1. 4 數值模擬 199

8. 2 貯箱隔層板的振動 200

8. 2. 1 問題描述 200

8. 2. 2 位移解的函數形式 200

8. 2. 3隔層板上下表面壓力差的確定 201

8. 2. 4動力方程的解 201

8. 2. 5 算例分析 202

8. 3 氣缸彈性缸底的混沌運動分析 206

8. 3. 1 氣體運動方程 207

8. 3. 2 氣缸彈性缸底運動方程的建立 208

8. 3. 3 混沌運動分析 210

8. 4 雙層圓筒的混沌運動分析 213

8. 4. 1 氣體運動方程 213

8. 4. 2 外層圓筒運動方程 214

8. 4. 3 流固耦合運動方程的建立 214

8. 4. 4 混沌運動分析 216

參考文獻 221

第9 章橢圓柱殼的繞流分析 222

9. 1 橢圓柱殼繞流函數的建立 222

9. 1. 1 橢圓柱繞流的復勢 222

9. 1. 2 橢圓柱繞流和壓力場的分析實例 223

9. 1. 3 繞拱形板的無環流動 226

9. 1. 4 橢圓柱殼面的壓力分布 228

9. 2 彈性橢圓柱殼的變形 228

9. 2. 1 橢圓柱殼的變形分析 229

9. 2. 2 圓柱殼的變形 230

9. 2. 3 圓柱與橢圓柱殼的變形比較 231

9. 3 基于 Fluent 的橢圓柱殼繞流問題的數值模擬 232

9. 3. 1 橢圓柱繞流的數值模擬 232

9. 3. 2 數值解與理論解的比較 234

9. 4 繞橢圓柱殼流動耦合問題的數值分析 235

9. 4. 1 彈性橢圓柱殼繞流耦合問題的描述 235

9. 4. 2 橢圓柱殼的變形及應力分析 236

9. 4. 3 彈性拱殼的繞流分析 238

參考文獻 238

第10 章柔性薄壁管的流固耦合非線性問題 240

10. 1 柔性薄壁管的混沌運動分析 240

10. 1. 1血液流動運動方程 240

10. 1. 2動脈管壁運動方程 241

10. 1. 3 流固耦合運動方程 242

10. 1. 4 混沌運動分析 243

10. 2 血管狹窄處管壁變形及應力分析 250

10. 2. 1 局部狹窄脈動流的分析 251

10. 2. 2 狹窄血管管壁的變形及應力分析 254

10. 2. 3 狹窄處植入支架的分析 262

10. 2. 4 斑塊與管壁材料特性對血管變形及應力的影響 264

10. 2. 5 局部狹窄處植入支架后的力學分析 272

10. 3 頸動脈血管硬化的力學分析 274

10. 3. 1 頸動脈狹窄處的血壓波動方程 274

10. 3. 2 血管壁沿軸向的變形與應力分析 279

10. 3. 3 血管壁材料參數對血管變形的影響 280

10. 3. 4 動脈硬化力學指標的建立 281

參考文獻 282